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略谈三角函数的图象变换
三角函数的图象是三角函数的概念和性质的直观形象的反映,是研究三角函数的性质的基础。而三角函数的图象的特征和性质,又是通过函数的图象变换反映出来的,因此掌握这一函数图象的变换关系及灵活运用,是分析和解决与三角函数的图象有关的问题的关键。同时,三角函数的图像变换也是历年高考中的常考内容。
下面略谈三角函数(A>0且A≠1,ω>0且ω≠1)的图象变换。对于这一函数的图像变换,课本上首先分别探索了、ω、A对图像的影响,即得到下面三种基本变换:
:把的图象上所有点向左(当>0时)或向右(当<0时)平移||个单位,得到的图像。
:把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变),得到的图像。
:把的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变),得到的图像。
然后在此基础上,归纳总结出由正弦曲线得到函数的图象的变换过程:
课本对于这一过程的归纳总结,虽然体现了由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想,说明了图象的变换过程,但是学生在学习理解上却存在一定的困难,有相当部分的同学形成思维定势。如果改变图象的变换顺序,即先进行周期变换,再进行相位变换,则容易产生错误。如对于
的图象变换,在由变换到后,有些学生错误地认为:只需再将其图象向左或向右平移||个单位,而正确的图象变换应该是向左或向右平移个单位,即函数变换为。
针对学生学习中的困难,图象变换过程还可表述为:



即
这样就避免了容易发生的错误,有助于分析和解决问题。请看下面的例题。
,只需将函数的图象( )个单位长度
(A)向左平移(B)向右平移(C)向左平移(D)向右平移
分析: 因为,由图象变换可知应将函数的图象向右平行移动,移动单位为,即有,于是选(D)。
变式:要得到的图像,只需将的图像( )个单位长度
(A)向左平移(B)向右平移(C)向左平移(D)向右平移
分析:因为,即,所以选(C)。
评注:进行图像变换时应切记无论是哪种变换都是对字母x而言的,注意到这一点就无须担心到底是先作相位变换还是先作周期变换。
( )的图象如图1所示,那么( )
(A) (B)
(C) (D)
分析:由图象可知:又,
所以,于是选(C)。
评注:①此题牵涉到三角函数的性质、图像及其变换,要解决它需要综合应用这些知识;
②数形结合是数学中重要的思想方法,很多函数的性质都是通过观察图像而得到的。

1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
2)该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
略解:函数变形为
1)当函数y取最大值时,自变量x的集合为
2)将的图像向左平移,再将所得图象上各点横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的倍,再将所得图象向上平移个单位长度即得到该函数的图象。
或者也可这样变