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:余弦定理

继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式,体会向量方法推导余弦定理的思想;通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题;深化与细化方程思想,理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性,理解事物间的普遍联系性。
、难点
重点:余弦定理的发现过程及定理的应用;
难点:用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。

探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式。通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题。

本课之前,学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容,对于三角形中的边角关系有了进一步的认识,在此基础上利用向量方法探求余弦定理,学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

[提出问题]
在△ABC中,若AB=2,AC=3,A=60°.
问题1:这个三角形确定吗?
提示:确定.
问题2:你能利用正弦定理求出BC吗?
提示:不能
问题3:能否利用平面向量求边BC?如何求得?
提示:能.
∵=+
∴2=2+2+2·
=2+2-2cos A
=4+9-2×2×3cos 60°
=7
∴=
问题4:利用问题3的推导方法,能否推导出用b,c,A表示a?
提示:能.
[导入新知]
余弦定理
余弦定理
公式表达
a2=b2+c2-os_A,
b2=a2+c2-os_B,
c2=a2+b2-2abcos_C
余弦定理
语言叙述
三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
推论
cos A=,
cos B=,
cos C=
[化解疑难]
对余弦定理的理解
(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构特征:“平方”、“夹角”、“余弦”.
(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能:余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.

已知三角形的三边解三角形
[例1] 在△ABC中,若a∶b∶c=1∶∶2,求A,B,C.
[解] 由于a∶b∶c=1∶∶2,
可设a=x,b=x,c=2x.
由余弦定理的推论,得cos A===,故A=30°.
同理可求得cos B=,cos C=0,所以B=60°,C=90°.
[类题通法]
已知三角形的三边解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
(2)利用余弦定理求三个角的余弦,进而求三个角.
[活学活用]
,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是________.
解析:设中间角为θ,由于8>7>5,故θ的对边的长为7,由余弦定理,得cos θ==.所以θ=60°,故另外两角和为180°-60°=120°.
答案:120°
已知三角形的两边及其夹角解三角形
[例2] 在△ABC中,已知a=8,B=60°,c=4(+1),解此三角形.
[解] 由余弦定理得:b2=a2+c2-os B=82+[4(+1)]2-2×8×4(+1)·cos 60°
=64+16(4+2)-64(+1)×=96,
∴b=4.
法一:由cos A===,
∵0°<A<180°,∴A=45°.
故C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.
法二:由正弦定理=,∴=,
∴sin A=,∵b>a,c>a,
∴a最小,即A为锐角.
因此A=45°.
故C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.
[类题通法]
已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法
先利用余弦定理求出第三边,其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求出其余角;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.
若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些问题(在(0,π)上,余弦值所对角的值是唯一的),故用余弦定理求解较好.
[活学活用]
△ABC,已知a=2,b=2,C=15°,解此三角形.
解:c2=a2+b2-2abcos C=(2)2+(2)2-2×2×2×cos(45°-30°)
=8-4
=(-) 2
∴c=-.
法一:由余弦定理的推论得
cos A=
==.
∵0°<A<180°,
∴A=45°,
从而B=120°.
法