一元二次方程知识要点.docx

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一元二次方程知识重点
一元二次方程知识重点
一元二次方程
一元二次方程的一般形式:a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的相关问题时,多半习题要先化为一般形式,目的是确立一般形式中的a、b、c;此中a、b,、c可能是详细数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵巧运用,此中直接开平方法固然简单,可是合用范围较小;公式法固然合用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法合用范围较大,且计算简易,是首选方法;配方法使用较少.
一元二次方程根的鉴别式:当ax2+bx+c=0(a≠0)时,=b2-
等价命题:
>0<=>有两个不等的实根;=0<=>有两个相等的实根;
<0<=>无实根;Δ≥0<=>有两个实根(等或不等).
一元二次方程的根系关系:当ax2+bx+c=0(a≠0)时,如Δ≥0,有以下公式:
(1)x1,2
bb2
4ac;(2)x1
x2
b,
x1x2
c.
2a
a
a
2
≠0)时,有以低等价命题:
※+bx+c=0(a
(以低等价关系要求会用公式x1
x2
b,x1x2
c
2
剖析,不要求背记)
;
=b-4ac
a
a
(1)两根互为相反数
b=0且Δ≥0
b=0
且Δ≥0;
a
(2)两根互为倒数
c=1且Δ≥0
a=c且Δ≥0;
a
(3)只有一个零根
c=0且
b≠0
c=0
且b≠0;
a
a
(4)有两个零根
c
=0且
b=0
c=0
且b=0;
a
a
(5)起码有一个零根
c=0
c=0;
a
(6)两根异号
c<0
a、c异号;
a
(7)两根异号,正杜绝对值大于负杜绝对值
c<0且
b>0
a、c异号且a、b异号;
a
a
(8)两根异号,负杜绝对值大于正杜绝对值
c<0且
b<0
a、c异号且a、b同号;
a
a
(9)有两个正根
c>0,
b>0且Δ≥0
a、c同号,a、b异号且Δ≥0;
a
a
(10)有两个负根
c>0,
b<0且Δ≥0
a、c同号,a、b同号且Δ≥0.
a
a
:注意:当<0
时,二次三项式在实数范围内不可以分解.
2
2
b
b2
4ac
b
b2
4ac
ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
或ax+bx+c=
x
.
ax
2a
2a
:
x2-(x1+x2)x+x1x2=:所求出方程的系数应化为整数.
--------应用题的种类题之一(设增添率为x):
第一年为a,第二年为a(1+x),第三年为a(1+x)2.
(2)常利用以下相等关系列方程:
第三年=第三年
或第一年+第二年+第三年=总和.
:
两边同乘最简
验增根代入最简公分母
(或原方程的每个分母),值0.
(1)去分母法
公分母
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凑元,设元,
(2)换元法验增根代入原方程每个分母,值0.
换元.
二元二次方程组的解法:
()代入消元法
方程组中含有一个二元一次方
程
;
1
()分解降次法
方程组中含有能分解为(
()
)
0
的方程
;
2
(3)
注意:(
1
)(
2
)
0应分组为
(1)
0
(2
)
0
(1)
0
(2)
0
.
(3)(4)0
(3)0
(4)0
(4)0
(3)0
※:
(1)
2
x
2
(x1
x
2)
2
2x1x2
;
(x1
x2)
2
(x1
x
2)
2
4x1x
;
x
2
1
1
)
2
;
x1
2
2
x
2
(x
2
x
或
x
2
1
(x
1
2
;
x1
x2
(x1
x2)2
(x1
x2)2
4x1x2
(x1x2)
;
x2
)
2
x2)2
x2)2
x
(x1
(x1
4x1x2
(x1
x2)
(2)
x1
x2
2

x2
2和x1x2
2
;
2.
两边平方为(x1x
2
4
2)
2
(1)
分类为
x1
4
和
x1
4
(3)
x1
4
(或x1
16)
x2
3
x2
3
;
x2
3
x22
9
(2)
两边平方一般不用,
由于增添次数.
(4)
如x1
sinA,
x2
sinB
且
A
B
90
时,
由公式sin2
A
cos2A
1,cosA
sinB
可推出
x12
x22
1.
注意隐含条件:x10,
x2
0.
(5)
x1,x2
若为几何图形中线段长
时,可利用图形中的相等关
系(
比如几何定理,相像形
,面积
等式,公式)
推导出含有
x1,
:x10,
x2
0.
(6)
如题目中给出特别的直
角三角形、三角函数、
比率式、等积式等条件
,可把它们转变为某
些线段的比,而且
引入“协助未知元
”
k.
(7)
方程个数等于未知数个
数时,一般可求出未知数的值
;方程个数比未知数个数
少一个时,一
般求不出未知数的值
,
但总可求出任何两个未
知数的关系.
解三角形
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:在RtABC中,如∠C=90°,那么
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sinA=对
a;
cosA=
对
b;
斜
c
斜
c
对
邻

B
c
a
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tanA=a;cotA=b.
邻b对a

Cb

A
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------“正余互化公式”如∠A+∠B=90°,那么:
sinA=cosB;cosA=sinB;tanA=cotB;cotA=tanB.
同角三角函数关系:
sin2A+cos2A=1;
tanA·cotA=1.※tanA=sinA
※cotA=cosA
cosA
sinA
函数的增减性:在锐角的条件下,正弦,正切函数随角的增大,函数值增大;余弦,余切函数随角的增大,函数值反而减小.
:如图:这是两个特别的直角三角形,经过设k,它能够推出特别角的直角三角函数
值,要娴熟记忆它们.
∠A
0°30°45°60°90°
A
60°
2K
sinA
0
1
2
3
1
※
K
在0°
:
2
2
2
30°
C
3K
B
cosA
1
3
2
1
0
90°时.
A
2
2
2
正弦函数值范围:0
1
;
tanA
0
3
1
3
不存在
K
2K
3
余弦函数值范围:1
0
°
;
45
cotA
不存在
3
1
3
0
C
K
B
正切函数值范围:0
无量大;
3
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余切函数值范围:无量大0.
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解直角三角形:对于直角三角形中的五个元素,能够“知二可求三”,但“知二”中起码应当有一个是边.
※8.
对于直角三角形的两个公式:Rt△ABC中:
若∠C=90°,
r
abc;R
c
:内切圆半径,R:外接圆半径,
mc:斜边上中线.
2
2
:i=1:m=h/l=tan
α;坡角:α.
h
i=1:m
a
l
:
北偏西
北
30
东
南偏东70
:
铅垂线
仰角
水平线
俯角
:已知“SAS”“SSS”“ASA”“AAS”条件的随意三角形都能够经过“斜化直”求出其
余的边和角.
※“SSA”条件的三角形:若三角形存在且切合“SSA”条件,则可分三种状况:(1)∠A≥90°,
图形独一可解;(2)∠A<90°,∠A的对边大于或等于它的已知邻边,图形独一可解;(3)∠A
90°,∠A的对边小于它的已知邻边,图形分两类可解.
:
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(1)“斜化直,一般化特别”-------加协助线的依照;
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(2)合理设“协助元k”,并利用k进一步转变是剖析三角形问题的常用方法-------转变思想;
(3)三角函数的定义,几何定理,公式,相像形等都存在着大批的相等关系,利用其列方程(或方程组)是
解决数学识题的常用方法---------方程思想.
函数及其图象
一函数基本观点
函数定义:设在某个变化过程中,有两个变量x,、y,如对x的每一个值,y都有独一的值与它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.
※:(1)自变量范围相同;(2)函数值范围相同;(3)相同的自变量值所对应的函数值
也相同.
※:对于y=kx2(k≠0),如x是自变量,这个函数是二次函数;如x2是自变量,这个函数是
y
一次函数中的正比率函数.
--+++
x
__o
:
+-
(1)平面上点的坐标是一对有序实数,表示为:M(x,y),x叫横坐标,y叫纵坐标;
(2)一点,两轴,(四半轴),四象限,象限中点的坐标符号规律如右图:
(3)x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0;即“x轴上的点纵为0,y轴上的点横为0”;反之也
成立;
(4)象限角均分线上点M(x,y)的坐标特点:
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x=y<=>M在一三象限角均分线上;x=-y<=>M在二四象限角均分线上.
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5)对称两点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标特点:
对于y轴对称的两点<=>
横相反,纵相同;
y
P
对于x轴对称的两点<=>
纵相反,横相同;
x
oN
M
Q
对于原点对称的两点<=>
横、纵都相反.
坐标系中常用的距离几个公式-------“点求距”
1)如图,轴上两点M、N之间的距离:MN=|x1-x2|=x大-x小,PQ=|y1-y2|=y大-y小.
(2)如图,象限上的点M(x,y):
y
x
到y轴距离:dy=|x|;
到x轴距离:dx=|y|;
ro
M(x,y)
到原点的距离:r
x2
y2.
y
(3)如图,轴上的点M(0,y)、N(x,0)到原点的距离:
M(0,y)
x
N(x,0)
o
MO=|y|;NO=|x|.
※(4)如图,平面上随意两点M(x2,y2)、N(x2,y2)之间的距离:
M(x,y)
y
x
o
d
(x
x
)2
(y
y
)2.
C
N(x,y)
1
1
2
2
※:
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y轴<=>直线x=0;x轴<=>直线y=0;
与y轴平行,距离为∣a∣的直线<=>直线x=a;

y
x=a
by=b
a
ox
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与x轴平行,距离为∣b∣的直线<=>直线y=b.
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函数的图象:
把自变量x的一个值作为点的横坐标,把与它对应的函数值y作为点的纵坐标,构成一对有序实数对,在平面坐标系中找出点的地点,这样获得的全部的点构成的图形叫函数的图象;
图象上的点都合适函数分析式,合适函数分析式的点都在函数图象上;由此可得“图象上的点就能代入”
-------重要代入!
坐标平面上,横轴叫自变量轴,纵轴叫函数轴;利用已知的图象,可由自变量值查出函数值,也可由函数值查出自变量值;可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围,也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围;
函数的图象由左至右假如是上坡,那么y随x增大而增大(叫递加函数);函数的图象由左至右假如是下坡,那么y随x增大而减小(叫递减函数).
自变量取值范围与函数取值范围:
分析式
x取值范围
Y取值范围
整式类
例y=2x-1
取一确实数
取一确实数
例y
1
x2
y≠0
分式类
2
x
二次根式类
例y
x2
x≥2
非负数
综合类
例y
1
x>2
正数
x-2
应用问题类
例s=vt(t是自变量)
t≥0
非负数
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一次函数
一次函数的一般形式:y=kx+b.(k≠0)

x0-b/k,
yb0

即取点
对角0
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(x,y)(0,b)(-b/k,0)
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对于一次函数的几个观点:y=kx+b(k≠0)的图象是
一条直线,因此也叫直线y=kx+b,图象必过y轴上的点(0,b)和x轴上的点(-b/k,0);注意:如图,这
=kx+b(k≠0)在y轴上的截距,b的实质是直线与y
轴交点的纵坐标,知道截距即知道分析式中b的值.
=kx+b(k≠0)中,k,b符号与图象地点的关系:
k>0,b>0
k>0,b<0
y
y
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图象过一二
ox三象限,图
象上坡.
k<0,b>0
y
o
x
图象过一二
四象限,图
象下坡.

图象过一三
ox四象限,图
象上坡.
k<0,b<0
y
o
x
图象过二三
四象限,图
象下坡.
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:两直线平行<=>k1=k2※两直线垂直<=>k1k2=-1.
直线的平移:若m>0,n>0,那么一次函数y=kx+b图象向上平移m个单位长度得y=kx+b+m;向下平移n
个单位长度得y=kx+b-n(直线平移时,k值不变).
函数习题的四个基本功:
式求点:已知某直线的详细分析式,设y=0,可求出直线与x轴的交点坐标(x0,0);设x=0,可求出直线与y轴的交点坐标(0,y0);已知两条直线的详细分析式,可经过列二元一次方程组求出两直线的交点坐
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标(x0,y0);交点坐标的实质是一个方程组的公共解;
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点求式:已知一次函数图象上的两个点,可设这个函数为y=kx+b,而后辈入这两个点的坐标,获得关
于k、b的两个方程,经过解方程组求出k、b,进而求出分析式------待定系数法;
距求点:已知点M(x0,y0)到x轴,y轴的距离和所在象限,可求出点M的坐标;已知坐标轴上的点P到原点的距离和所在半轴,可求出点P的坐标;
点求距:函数题常常和几何相联合,利用点的坐标与它所在的象限或半轴特点可求相关线段的长,进而使得函数问题几何化.
正比率函数
正比率函数的一般形式:y=kx(k≠0);属于一次函数的特别状况;(即b=0的一次函数)它的图象是一
x01
条过原点的直线;也叫直线y=kx.
y0K
(x,y)
(0,0)
(1,K)
:正比率函数y=kx(k≠0)的图象必过
(0,0)点和(1,k)点,注意:如图,这两个点也是画正比率
函数图象时应取的两个点,即列表如右:
=kx(k≠0)中,k的符号与图象地点的关系:
k>0
k<0
yy
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ox

图象过一三
象限,图象
上坡.

ox

图象过二四
象限,图象
下坡.
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求正比率函数分析式:已知正比率函数图象上的一点,可设这个正比率函数为y=kx,把已知点的坐标代入
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后,可求k,进而求出详细的函数分析式------待定系数法.
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