一元二次方程知识要点.docx

一元二次方程一元二次方程的一般形式:a工0时,ax两根互为相反数二-b=0且A>0二b=0且厶>0;a+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、b、c;其中a、b,、c可能是具体数,:一元二次方程的四种解法要求灵活运用,其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便,是首选方法;配方法使用较少•一元二次方程根的判别式:当ax2+bx+c=0(a丰0)时,△=b2-4ac叫一元二次方程根的判别式•请注意以下等价命题:△>0<=>有两个不等的实根;△=0<=>有两个相等的实根;△<0<=>无实根;△>0<=>有两个实根(等或不等).:当ax2+bx+c=0(a工0)时,如厶>0,有下列公式:(1)xi,2-4b2_4ac;(2)X!X22ax1x^—+bx+c=0(a丰0)时,有以下等价命题:2;△=b-4ac分析,不要求背记)(以下等价关系要求会用公式Xr-「x2=,x1x2(1)a(3)(5)两根异号c二-=1且厶>0ua=:c且△>0;ac——=0且一-工0uc=:0且b工0;aauc=0且一=0:=c=:0且b=0;aa二-=0uc=0;ac<0二a、c异号;a两根互为倒数只有一个零根有两个零根至少有一个零根两根异号,正根绝对值大于负根绝对值:=c<0且一->0二a ac异号且a、b异号;(8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值:=c异号且a、b同号;(9)” c b有两个正根 >0, >0且A>0二a、c同号,ab异号且△>0;ac b(10)有两个负根 >0, <0且A>0二a、c同号,a、b同号且A》。.a :注意:当△<0时,+bx+c=a(x_xi)(x_x2)或ax2+bx+c=a-b b2-4ac-b-b2-4acx x-.2aA2a求一元二次方程的公式:x2-(xi+x?)x+x1x2=0. 注意: 应用题的类型题之一(设增长率为x):第一年为a,第二年为a(1+x),第三年为a(1+x): 第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=•分式方程的解法:(1)去分母法两边同乘最简公分母验增根代入最简公分母(或原方程的每个分母),值~0.(2)换元法凑元换设元,,值~-0.(1)⑵(3)]1)=0(2)=0”(1)=0:J3)=0[4)=0丄4)=0、、)=0的方程;=0=0程;)((1)x2)^—2x1x2;(X1-x2) -(x1 'X2)—4x1x2;2112x -y=(X―)-2;x2 x或x2丄=(xx-1)2 2;xX1X2r t;(X1—X2)2=f(X1+X2)2—4X1X2(X1徐2)-;(x1 -x2)2=-(X1 ?2亠x2) 4x1x2 区::x2)-x2=2禾口x1-x2--(x1-x2)2=4(或电晋)二X2 9(1)分类为和X2 3X1X2(2)两边平方一般不用,:代入消元法——方程组中含有一个二元一次方分解降次法——方程组中含有能分解为((1 )( 2)=0注意:'八丿应分组为(3 )(4 )=0几个常见转化:女口x1=sinA,x2=sinB且一A: =90时,由公式sin2A cos2A=1,cosA=sinB可推出xfx2=1. 注意隐含条件:Xr0,x2 ,x2若为几何图形中线段长 时,可利用图形中的相等关系(例如几何定理,相似形,面积等式,公式)推导出含有 Xi,X2的关系式•注意隐含条件:,、三角函数、 比例式、等积式等条件,可把它们转化为某些线段的比,并且引入“辅助未知元k”.方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时,般求不出未知数的值,:在RtAABC中,如ZC=90,那么sinA=cosA=cotA=ba2•余角三角函数关系“正余互化公式”如/A+/B=90,那么:sinA=cosB;cosA=sinB;tanA=cotB;cotA=:sin2A+c°sA=1; tanA•cotA=1. tanA=sinA cotA=cosAcosA sinA函数的增减性:在锐角的条件下,正弦,正切