§3.1-4(七)(八)(九).ppt

§ 引言
第3章二自由度系统
多自由度系统指需要用两个或两个以上的独立坐标才能描述其运动的振动系统。二自由度系统是最简单的多自由度系统。
§ 运动微分方程
图为典型的二自由度弹簧、阻尼器质量系统。
用牛顿第二定律建立它的运动微分方程:1)分别在ml,m2建立坐标系Xl;X2以描述m1,m2的振动。坐标原点O1,O2分别取m1,m2的静平衡位置。向右为坐标正向。2) 设m1,m2在F1(t),F2(t)作用下沿各自的坐标正向分别移动了x1,x2,分析此时m1,m2的受力情况。
列微分方程的第一种方法:
根据牛顿第二定律可以得到:
整理得:
在多自由度系统振动理论中,广泛使用矩阵记号。
记:位移向量
加速度向量
速度向量
激励向量
设
分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。
则
记为:
即:
这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。
质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵完全决定了系统的性质。
从上面的例子可以看出,这三个矩阵均是对称矩阵,即
系统的动能为
势能为
能量耗散函数
利用这三个函数可以分别求出三个矩阵的各个元素
列微分方程的第二种方法:
1)求出系统的动能、势能和能量耗散函数,
2)然后利用式()求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。
3)最终求出系统的运动微分方程。
好处:由于系统的动能、势能和能量耗散函数是标量,可以不考虑力的方向,免去了许多麻烦。
因此:列微分方程有两种方式:
1)牛顿法:隔离体受力分析
2)求偏导法:求系统动能\势能和能量耗散函数,再求导(推荐方法)
弹性元件k2和阻尼元件c2使得系统的两个质量的振动相互影响,并使刚度矩阵和阻尼矩阵不是对角矩阵。
一般多自由度系统的运动微分方程中的质量、阻尼和刚度矩阵都可能不是对角矩阵,这样微分方程存在耦合。
如果质量矩阵是非对角矩阵,称方程存在惯性耦合;如果阻尼矩阵是非对角矩阵,称方程存在阻尼耦合;如果刚度矩阵是非对角矩阵,称方程存在弹性耦合。
存在什么耦合??
如何消除方程的耦合是求解多自由度系统运动微分方程的关键。从数学上讲,就是怎样使系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一坐标系下同时成为对角矩阵。
§ 不同坐标系下的运动微分方程
汽车的二自由度振动模型如图3—3所示。
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆,具有质量m和绕质心的转动惯量Ic。质心位于C点。分别在A点和B点与杆相联的弹性元件k1、k2为汽车的前、后板簧。
c
Ic