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全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案
2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案
一、填空题
1、化简…
解:由可得.
2、若sinx+cosx=,.
解:,
3、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中,则此正方体体积的最小值是3.
解:反向考虑,边长为a的正方体(体积为a3),其最大内接正四面体顶点,由互不共棱的正方体顶点组成,其体积为
4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上,则椭圆的离心率.
解:建立坐标系,设椭圆的方程为焦点,准线方程为
据对称性,只要考虑两种情况:(1)、由;(2)、
由横坐标
、函数的最小值是.
解:首先,又由即,即因y>0,则此值在.
、设…,则….
解:令x=0,得a0=1,再令x=1,得a0+a1+a2+…+a2n=,又令x=-1,得a0-a1+a2+…+a2n=1,所以.
、将全体真分数排成这样的一个数列:…,排序方法是:自左至右,先将分母按自小到大排列,对于分母相同的分数,再按分子自小到大排列,则其第2017项.
解:按分母分段,分母为k+1的分数有k个,因,因2017属于第64段,则应是分母为65的第一数,即.
、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列,若,则n=120.
解:数字和为10的两位数有9个;数字和为10的三位数:首位数字a可取1,2,…,9中任意一个值,当a取定后,b可取0,1,…,10-a这11-a个数字的任意一个值,而在a,b确定后,c的值就唯一确定,因此三位数的个数是
;数字和为10的四位数:a+b+c=9的非负整数解(a,b,c)的个数是,数字和为10的四位数共有2个即2008和2017,故在1,2,…,2017中,满足条件的数有9+54+55+2=120个.
二、解答题(共70分)
、(本题满分15分)数列,满足:,,.
证明:(1)、,;(2)、.
证明:…①由此递推得…②
因此即有
据①得…③,由条件知,皆为严格递增的正整数数列,
所以…④…⑤
将③④⑤相乘得
、(本题满分15分)若小于2017的三个互异正整数,,使得,,均是2017的倍数;证明:必是的倍数.
证:因;又由注意2017为质数,则a-b与2017互质,因此…①同理有…②…③,根据②③,
,即,从而,因正整数a,b,c皆小于2017,得a+b+c<3*2017,因此a+b+c=2017或2*,故只要证,将①改写为…④,同理有,…⑤,将①②③④⑤式相加,得于是,从而.
、(本题满分20分)设={,,,…}是由全体正整数的平方所构成的集合;如果数能够表示为集合中若干个(至少一个)互异元素的代数和,:每个自然数都具有结构.
证明:首先,我们可以将前十个自然数分别表示为:
再考虑区间中的数,其中除了16=42之外,其余的数皆可表示为形式;并且注意到,在1,2,3,4,5,6中每个数的p结构表示中,凡是表示式中42参与时,42皆以正项形式出现,于是由可知,此时42项便抵消(不会出现的项);因此,区间中的数皆具有P结构表示,也就是的每个数都具有P结构表示,且其中最大项至多为42,而凡是含有42的表示中,42皆以正项形式出现,下面使用归纳法,假若已证得的每个数都具有P结构表示,且其中最大项至多为,而凡是含有表示中,皆以正项形式出现(其中),对于区间中的数,除了最大数可以直接表示为之外,其余元素n皆可表示为:,由归纳假设,
,并且此k具有P结构表示,其中每项皆,因此数n具有P结构表示,故由归纳法,即知所证的结论成立.
、(本题满分20分)如图,⊙,⊙相交于,两点,是经过点的一条线段,其中,点,分别在⊙、⊙上,过线段上的任意一点,作,,点,分别在,上,又向形外方向,作,,其中在⊙上,在⊙上;证明:.
证明:设⊙、⊙的半径分别为,由于ABEC共圆,ABFD共圆,得
而于是
∽,根据平行关系得
∽∽,所以
为平行四边形,BN=MK,延长垂线FN交⊙于,因则⊙上优弧BEC与⊙上BD所对的优弧的度数相等,又因M,N分别是两圆对应弦CB、BD上的点,且⊿CME∽⊿NB,⊿BME∽⊿ND,从而⊿BEC∽⊿DB,由⊿BEM∽⊿ND∽,得,注意BM=KN,BN=KM,上式成为,根据⊿CMK∽⊿KND,得∽,
而又据条件