专题十二：基本数学方法-教师版-苏深强.doc

基本数学方法
【命题趋向】数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴涵在数学知识发生、,对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行,通过对数学知识的考查,反映考生对数学思想、,要从学科整体意义和思想含义上立意,注重通性通法,淡化特殊技巧,有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度.
一般认为,:函数与方程思想,数形结合思想,分类与整合思想,化归与转化思想,特殊与一般思想,有限与无限思想,:待定系数法、换元法、配方法、:分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、、思考、分析与解决数学问题的普通方法,对数学思想和方法的考查要结合数学知识多层次进行.
高考对数学方法的考查突出常规方法和通性通法,不追求对特殊技巧的考查,高考考查的内容可以划分为三类,他们是数学基础知识、,以方法为依托,以能力为目的来进行考查的,命题时则是以能力立意,以方法和知识为素材来进行命题设计的,在一套高考试卷中体现数学方法的试题占有较大的比例,预计2012年的高考考查数学基本方法的试题仍会占有较大比例,高考对数学基本方法的考查不会降低要求.
【考点透析】我们结合上面的论述,本专题主要研讨综合法、分析法、反证法、数学归纳法、换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造法、特值法等十种数学基本方法.
【例题解析】
题型1 综合法:由因导果的一种推理论证方法.
.
(1)求函数的最小正周期及最值;
(2)令,判断函数的奇偶性,并说明理由.
分析:将三角函数式化为一个角的一个三角函数.
解析:(1).
的最小正周期.
当时,取得最小值;当时,取得最大值2.
(2)由(2).
.
.
函数是偶函数.
点评:本题考查三角恒等变换、三角函数的性质,解题的基本方法就是综合法.
,在四棱锥中,,,,,.
(1)证明平面;
(2)求异面直线与所成的角的大小;
(3)求二面角的大小.
分析:(1)根据演绎推理的三段论模式,根据有关的已知定理进行推证,注意转化的思想;(2)也得根据异面直线的角的定义这个大前提,作出两异面直线所成的角,在进行求解;(3)根据二面角的定义,作出二面角的平面角,在进行具体的计算.
解析:(1)在中,由题设,,,可得,,,又,所以平面.
(2)由题设,,所以(或其补角)是异面直线与所成的角.
在中,由余弦定理得
A
B
C
D
P
H
E
.
由(Ⅰ)知平面,平面,
所以,因而,于是是直角三角形,
故.
所以异面直线与所成的角的大小为.
(3)过点作于,过点作于,连结.
因为平面,平面,,因而平面,, .从而是二面角的平面角.
由题设可得,
,,
,,
.
于是在中,.
所以二面角的大小为.
点评:高考数学试题中的绝大多数题目都是通过综合法解决的,综合法是最广泛的一种解决问题的方法.
题型2 分析法:执果索引的一种推理论证方法.
已知函数,若且,证明:.
分析:从结论出发逐步到处已知.
证明:欲证


只要证明,则以上最后一个不等式成立,在题设条件下易得此结论.
点评:分析法是思考问题的一种基本方法,在已知和未知之间的关系不明朗时可以通过从结论出发探究问题的思路.
题型3 反证法:反设结论,导出矛盾的一种推理论证方法.
,,证明数列不是等比数列.
分析:假设结论成立,导致矛盾.
证明:假设是等比数列,,
即
,即
,这与题设的公比不相等矛盾,故数列不是等比数列.
点评:宜用反证法证明的题型:有①易导出与已知矛盾的命题;②一些基本定理;③“否定性”命题;④“惟一性”命题;⑤“必然性”命题;⑥“至少”、“至多”命题等.
(1)设是各项均不为零的项()等差数列,且公差,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:
①当时求的数值;②求的所有可能值.
(2)求证:对于给定的正整数,存在一个各项及公差均不为零的等差数列,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
解析:(1)①当时, 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出.
若删去,则,即化简得,得
若删去,则,即化