§ 有理函数的积分
一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
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一、有理函数的积分
有理函数的形式
当nm时, 称这有理函数是真分式; 而当nm时, 称这有理函数是假分式.
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:
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假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.
.
有理函数
相除
多项式+ 真分式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
例如
例1. 将下列真分式分解为部分分式:
解:
(1) 用拼凑法
(2) 用赋值法
故
四种典型部分分式的积分:
变分子为
再分项积分
提示:
求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分.
解
例1
分母可因式分解的真分式的不定积分
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AB12A3B3
A6 B5
提示:
解
例2
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求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分.
分母可因式分解的真分式的不定积分
提示:
解
例3
分母是二次质因式的真分式的不定积分
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例4. 求
解:
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
但不一定简便,
因此要注意根据被积函数的结构寻求
简便的方法.
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