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关于锁具装箱的数学模型再分析
乐昌旭周锦雯黄君
摘要:本文建立了一个关于如何对一披弹子锁具进行装箱和标志的模型。
本文首先用组合数学的方法求得了一批锁具的总数为5880件,接着分析可能够互开的锁具之间的特性,从而得到以下装箱方案:根据钥匙槽高度之和的不同奇偶性将锁具分类装箱。按照这个方案,当购买量不超过49箱时,就可以保证一定不会出现互开的情形。文中用图论知识证明了这个方案是最优的。本文从概率的角度,引进平均互开对数E(mk),衡量了按原来方案装箱是顾客的抱怨程度,并将本文的方案和原方案进行比较,得出新方案明显减少可顾客抱怨程度的结论。
注: 该模型中的程序,计算以及图形全由Matlab软件辅助完成。
本模型须参考: 王朝瑞,《图论》北京工业学院出版社。
《Matlab基础及应用》重庆出版社。
一、问题的重述与分析
某锁厂生产一种弹子锁具的钥匙有5个槽,令hi (i=1, 2, 3, 4, 5)为钥匙第i个槽的高度,则一披锁具应满足如下三个条件:
条件1 对任意一种槽高排列h1 h2 h3 h4 h5有 hi∈{1, 2, 3, 4,5} (i=1, 2, 3, 4, 5);
条件2 对任意一种槽高排列h1 h2 h3 h4 h5 ,至少有三个槽高互不相同;
条件3 对任意一种槽高排列h1 h2 h3 h4 h5 ,有| hi --- hi—1 | ≠5 (i=2, 3, 4, 5);
而同时满足下面两个条件的两个锁具可以互开,并把这两个锁具称为一个互开对:
1. 两个锁的钥匙有四个槽高度相同;
2. 其余一个槽高度相差1;
锁厂销售部门原先在一批锁具中随机地取60个装为一箱出售,这样一来,成箱购买锁具的顾客总抱怨购得的锁具有互开现象。
所以我们要解决的问题是:每一批锁具共有多少个,如何衡量装箱造成的团体顾客的抱怨程度以及采取何种方案装箱来尽量避免团体顾客抱怨。
由一披锁具中,互开对总数是确定的,但是随机装箱之后,对于每一箱而言,锁具互开现象就不可避免地带有了随机性,因而可以用统计平均值定量地衡量随机装箱造成的团体顾客的抱怨程度。
为了能够提出一种方案来装箱和标志,以尽量避免团体顾客的抱怨,就需要找出能够开的锁具之间的特性,从而使能够互开的锁具分开装箱和标记。

二、模型假设
1、锁具厂在生产锁具过程中能够准确得知道钥匙的每个槽的高度。
2、对于同一批中两个锁具,若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同,且另一个槽的高度差为1,一定能互开。
《文中用到的符号几其说明》
符号
说明
符号
说明
hi (i=1,
2,3,4,5)
锁具钥匙的第i个槽的高度
G(V,X)
由V和X组成的图
H
P(G)
土G的顶点个数
E
一披锁具中平均每把锁具与其它
锁具所能组成的互开对数
0 (G)
图G的最小覆盖中的顶点个数
Ek
K箱锁具中平均每把锁具与其它
锁具
1(G)
图G最大匹配中的边数
m
总互开对数
0(G)
图G的最大独立顶点集中的顶点个数
E(mk)
K箱锁具中平均含有的互开对数
NG(V0)
图G中V0的邻集
S
某锁具
M
图的最大匹配
V
锁具集合/顶点集合
| V |
集合V的元素个数
X
互开