全国名校高考专题训练12-导数与极限解答题1(数学).doc

2008年全国名校高考专题训练
12导数与极限
三、解答题(第一部分)
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设函数
(Ⅰ)求函数的极值点;
(Ⅱ)当p>0时,若对任意的x>0,恒有,求p的取值范围;
(Ⅲ)证明:
解:(1),
当上无极值点
当p>0时,令的变化情况如下表:
x
(0,)
+
0
-
↗
极大值
↘
从上表可以看出:当p>0 时,有唯一的极大值点
(Ⅱ)当p>0时在处取得极大值,此极大值也是最大值,
要使恒成立,只需, ∴
∴p的取值范围为[1,+∞
(Ⅲ)令p=1,由(Ⅱ)知,
∴,
∴
∴


∴结论成立
2、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)已知上是减函数,且。
(1)求的值,并求出和的取值范围。
(2)求证。
(3)求的取值范围,并写出当取最小值时的的解析式。
解:(1)



(2)


(3)



3、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x+y=0平行,
(1)求常数a、b的值;
(2)求函数f(x)在区间[0,t]上的最小值和最大值。(t>0)
解:(1)a=-3,b=2;(2)当2<t≤3时,f(x)的最大值为f(0)=2;当t>3时,f(x)的最大值为f(t)=t3-3t2+2;当x=2时,f(x)的最小值为f(2)=-2。
5、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知(m为常数,且
m>0)有极大值,
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求曲线的斜率为2的切线方程.
解:(Ⅰ)
则,
由列表得:
x
-m
+
0
-
0
+
极大值
极小值
,∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,则
∴或
由,.
所以切线方程为:即;
或即
4、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知函数且是的两个极值点,,
(1)求的取值范围;
(2)若,对恒成立。求实数的取值范围;
解:(1),由题知:;
(2)由(1)知:,
∴对恒成立,所以:
5、(江西省五校2008届高三开学联考)已知函数
(I)求f(x)在[0,1]上的极值;
(II)若对任意成立,求实数a的取值范围;
(III)若关于x的方程在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
解:(I),
令(舍去)
单调递增;
当单调递减.
上的极大值
(II)由得
, …………①
设,
,
依题意知上恒成立,
,
,
上单增,要使不等式①成立,
当且仅当
(III)由
令,
当上递增;
当上递减
而,
恰有两个不同实根等价于
6、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)求下列各式的的极限值
①②)
答:①②
7、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)设f(x)=(a>0)为奇函数,且|f(x)|min=,数列{an}与{bn}满足如下关系:a1=2,,.
(1)求f(x)的解析表达式;
(2)证明:当n∈N*时, 有bn≤.
解:(1)由f(x)是奇函数,得 b=c=0,由|f(x)min|=,得a=2,故f(x)=
(2)
∴===…=,而b1=,∴=
当n=1时, b1=,命题成立,
当n≥2时,∵2n-1=(1+1)n-1=1+≥1+=n
∴<,即 bn≤.
8、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)设 f (x) = px--2 ln x,且 f (e) = qe--2(e为自然对数的底数)
(1)求 p 与 q 的关系;
(2)若 f (x) 在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围;
解:(I) 由题意得 f (e) = pe--2ln e = qe--2
Þ (p-q) (e + ) = 0而 e + ≠0
∴ p = q ………… 4分
(II) 由(I) 知 f (x) = px--2ln x
f’(x) = p + -=
令 h(x) = px 2-2x + p,要使 f (x) 在其定义域(0,+¥) 内为单调函数,只需 h(x) 在(0,+¥) 内满足:h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立.
①当 p = 0时, h(x) = -2x,∵ x > 0,∴ h(x) < 0,∴ f’(x) = - < 0,
∴ f (x) 在(0,+¥) 内为单调递减,故 p = 0适合题意.
②当 p > 0时,h(x) = px 2-2x + p,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为 x = ∈(0,+¥),∴ h(x)min