全国名校高考专题训练8-圆锥曲线解答题3(数学).doc

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全国名校高考专题训练08圆锥曲线
三、解答题(第三部分)
51、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知直线过椭圆E:的右焦点,且与E相交于两点.
P
Q
o
x
y
F
(1)设(为原点),求点的轨迹方程;
(2)若直线的倾斜角为60°,求的值.
解:(1)设

由,易得右焦点----------(2分)
当直线轴时,直线的方程是:,根据对称性可知
当直线的斜率存在时,可设直线的方程为
代入E有; ----(5分)
于是;
消去参数得而也适上式,故R的轨迹方程是-(8分)
(2)设椭圆另一个焦点为,
在中设,则
由余弦定理得
同理,在,设,则
也由余弦定理得
于是---------(12分)
52、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,点A在双曲线的右支上,点B在双曲线左准线上,
(1)求双曲线的离心率e;
(2)若此双曲线过C(2,),求双曲线的方程;
(3)在(2)的条件下,D1、D2分别是双曲线的虚轴端点(D2在y轴正半轴上),过D1的直线l交双曲线M、N,的方程。
解:(1)四边形F2ABO是平行四边形
∴四边形F2ABO是菱形.
∴
由双曲线定义得
(2)
,双曲线方程为
把点C代入有
∴双曲线方程
(3)D1(0,-3),D2(0,3),设l的方程为
则由
因l与与双曲线有两个交点,
故所求直线l方程为
53、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)直线AB过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,并与其相交于A、B两点,Q是线段AB的中点,M是抛物线的准线与y轴的交点,O是坐标原点.
(1)求·的取值范围;
(2)过A、B两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于N点.
求证:·=0,∥.
54、设圆满足:(1)截直线y=x所得弦长为2;(2)被直线y=-(1)、(2)的所有圆中,求圆心到直线x+3y=0的距离最小的圆的的方程.
解:设所求圆的圆心为P(a,b),半径为r,
则P到直线y=x、直线y=-x的距离分别为、.………(2分)
由题设知圆P截直线y=-x所得劣弧所对圆心角为90°,
圆P截直线y=-x所得弦长为r,故r2=()2,
即r2=(a+b)2,……………………(4分)
又圆P截直线y=x所得弦长为2,所以有r2=1+,
从而有.……………………(6分)
又点P到直线x+3y=0的距离为d=,
所以10d2=|a+3b|2=a2+6ab+9b2=8b2+2≥2……………………(8分)
当且仅当b=0时上式等号成立,
此时5d2=1,从而d取得最小值,由此有a=±,r=.…………(10分)
于是所求圆的方程为(x-)2+y2=2或(x-)2+y2=2…………(12分)
55、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知椭圆+y2=l的左焦点为F,O为坐标原点.
( I )求过点O、F,并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线交椭圆于A、B两点,并且线段AB的中点在直线x+y=0上,求直线AB的方程.
56、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知,点在轴上,点在的正半轴上,点在直线上,且.
(1)当在轴上移动时,求点轨迹C;
(2)若曲线的准线交轴于,过的直线交曲线于两点,又的中垂线交轴于点,求横坐标取值范围;
(3)在(2)中,能否为正三角形.
解:(1)设得
又由得
即…………………………4分
(2)由(1)知N(-1,0)设得:
由
由
设
对
∴AB的中点为
∴AB的中点为
令
即x0>3.
57、(湖北省八校高2008第二次联考)已知A,B是抛物线上的两个动点,为坐标原点,非零向量满足.
(Ⅰ)求证:直线经过一定点;
(Ⅱ)当的中点到直线的距离的最小值为时,求的值.
解:, .设A,B两点的坐标为(),()则.
(1)经过A,B两点的直线方程为
由,得
. 令,得, .
从而. (否则, 有一个为零向量),
. 代入①,得,始终经过定点. ……………(6分)
(2)设AB中点的坐标为(),则
.
又, ,
即.……………①
AB的中点到直线的距离.
将①代入,得.
因为d的最小值为. ……………(12分)
(若用导数求切线的斜率为2的切点坐标,参考给分.)
58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)已知半圆,动圆与此半圆相切且与轴相切。
(1)求动圆圆心的轨迹方程。
(2)是否存在斜率为的直线,它与