全国名校高考专题训练3-数列解答题2(数学).doc

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全国名校高考专题训练03数列与数学归纳法
三、解答题(二)
51、(广东省四校联合体第一次联考)已知函数且任意的、都有
(1)若数列
(2)求的值.
解:(1)

而

(2)由题设,有
又
得上为奇函数. 由
得
于是
故
52、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知数列的前n项和满足:(a为常数,且). (Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,若数列为等比数列,求a的值;
(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设,数列的前n项和为Tn
求证:.
解:(Ⅰ)∴
当时,
,即是等比数列. ∴; ……………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,若为等比数列,
则有而
故,解得, ………………………………7分
再将代入得成立,
所以. ………………………………………………………………8分
(III)证明:由(Ⅱ)知,所以
, ………………………………………………… 9分
由得
所以, …………………… 12分
从而
.
即. …………………………14分
53、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列。
(I)求的值;
(II)求的通项公式。
(III)(理做文不做)由数列中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b},求的值。
解:(I),,,因为,,成等比数列,
所以,解得或.
当时,,不符合题意舍去,故.……理4分(文6分)
(II)当时,由于,,……
,所以。
又,,=1时,上式也成立,所以……理8分(文12分)
(III)bn=32n-2-3n-1+2, ∴=9. ……理12分
54、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)已知数列中,
(1)求证:数列与都是等比数列;(2)求数列前的和;
(3)若数列前的和为,不等式对恒成立,求的最大值。
解:(1)∵,∴ 2分
∴数列是以1为首项,为公比的等比数列;
数列是以为首项,为公比的等比数列。 4分
(2)
9分
(3)
当且仅当时取等号,所以,即,∴的最大值为-48
55、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为,且.
(1) 求数列,的通项公式;
(2) 记,求证:.
解:(Ⅰ)∵a3,a5是方程的两根,且数列的公差d>0,
∴a3=5,a5=9,公差
∴………………3分
又当n=1时,有b1=S1=1-
当
∴数列{bn}是等比数列,
∴…………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知…………9分
∴
∴…………………………12分
56、(河北省正定中学高2008届一模)设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N+,都有,记Sn为数列{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若(为非零常数,n∈N+),问是否存在整数,使得对任意 n∈N+,都有bn+1>bn.
解:(1)在已知式中,当n=1时,
∵a1>0 ∴a1=1………………………………………………………………1分
当n≥2时, ①
②
①-②得,
∵an>0 ∴==2Sn-an
∵a1=1适合上式…………………………3分.
当n≥2时, =2Sn-1-an-1 ④
③-④得-=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+ an-1= an+ an-1
∵an+an-1>0 ∴an-an-1=1
∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为1,可得an=n………………5分
(2)∵

∴⑤………………………………………………………….7分
当n=2k-1,k=1,2,3,……时,⑤式即为⑥
依题意,⑥式对k=1,2,3……都成立,∴λ<1………………………………..9分
当n=2k,k=1,2,3,…时,⑤式即为⑦
依题意,⑦式对k=1,2,3,……都成立,
∴……………………………………………………………………………..11分
∴
∴存在整数λ=-1,使得对任意n∈N,都有bn+1>bn……………………………12分
57、已知数列的前项和为,对一切正整数,点都在函数的图像上,且过点的切线的斜率为.
(1)求数列的通项公式.
(2)若,求数列的前项和.
(3)设,等差数列的任一项,其中是中的最小数,,求的通项公式.
解:(1)点都在函数的图像上,,
当时,
当n=1时,满足上式,所以数列的通项公式为…….3分
(2)由求导可得
过点的切线的斜率为,.
.
①
由①×4,得
②
①-②得:

………