均值不等式的证明.docx

平均值不等式及其证明
平均值不等式是最基本的重要不等式之一,在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多方法,这里,我们选了部分具有代表意义的证明方法,其中用来证明平均值不等式的许多结论,其本身又具有重要的意义,特别是,在许多竞赛的书籍中,都有专门的章节和讨论,如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等,这些也是证明不等式的常用方法和技巧。
平均值不等式
一般地,假设a1,a2,…,an为n个非负实数,他们的算术平均值记为
An=a1+a2+⋯+ann,
几何平均值记为
Gn=(a1a2⋯an)1n=na1a2⋯an.
算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。
a1+a2+⋯+ann≥na1a2⋯an
即 An≥Gn,
当且仅当a1=a2=⋯an时,等号成立。
上述不等式成为平均值不等式,或简称为均值不等式。
平均值不等式的表达形式简单,容易记住,但它的证明和应用非常灵活、广泛,有多重不同的方法。为使大家理解和掌握,这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。

证法一(归纳法)
当n=2时,已知结论成立。
假设对n=k(正整数k≥2)时命题成立,即对ai>0,i=1,2,⋯,k,有
a1+a2+⋯+akk≥ka1a2⋯ak。
那么,当n=k+1时,由于
Ak+1=a1+a2+⋯+ak+1k+1,Gk+1=k+1a1a2⋯ak+1,
关于a1,a2,⋯,ak+1是对称的,任意对调ai与aji≠j,Ak+1和Gk+1的值不改变,因此不妨设 a1=mina1,a2,⋯,ak+1,ak+1=maxa1,a2,⋯,ak+1显然a1≤Ak+1≤ak+1,以及(a1-Ak+1)(ak+1-Ak+1)<0可得
Ak+1(a1+ak+1-Ak+1)≥a1ak+1
所以Ak+1=kAk+1k=k+1Ak+1-Akk=a1+a2+⋯+ak+1-Ak+1k
=a2+⋯+ak+(a1+ak+1-Ak+1)k≥ka2⋯ak+1(a1+ak+1-Ak+1)
即Ak+1k≥a2⋯ak(a1+ak+1-Ak+1)两边乘以Ak+1,得
Ak+1k+1≥a2⋯akAk+1a1+ak+1-Ak+1≥a2⋯aka1ak+1=Gk+1k+1
从而,有Ak+1≥Gk+1
证法二(归纳法)
当n=2时,已知结论成立。
假设对n=k(正整数k≥2)时命题成立,即对ai>0,i=1,2,⋯,k,有
a1+a2+⋯+ak≥kka1a2⋯ak。
那么,当n=k+1时,由于
a1+a2+⋯+ak+ak+1
=a1+a2+⋯+ak+ak+1+Gk+1+Gk+1+⋯+Gk+1-k-1Gk+1
≥kka1a2⋯ak+kkak+1Gk+1k-1-k-1Gk+1
≥2kka1a2⋯akkak+1Gk+1k-1-k-1Gk+1
=2k2kGk+1k-1Gk+1k+1-k-1Gk+1
从而,有Ak+1≥Gk+1
证法三(利用排序不等式)
设两个实数组a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn满足
a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn,
则 a1b1+a2b2+⋯anbn (同序乘积之和)
≥a1bj1+a2bj2+⋯anbjn(乱序乘积之和)
≥a1bn+a2b