量子力学的表象与表示.doc

第五章量子力学的表象与表示
§ 幺正变换和反幺正变换
1, 幺正算符定义
对任意两个波函数、,定义内积
()
物理含义是:
当微观粒子处在状态时,找到粒子处在状态的概率幅。
依据内积概念,“幺正算符”[定义1]:
“对任意两个波函数、,如果算符恒使下式成立
()
而且有逆算符存在,使得这里强调既是的右乘逆又是的左乘逆。注意,无限维空间和有限维空间情况不同,任一算符的逆算符有4种情况:1)有一个左逆算符和无穷多个右逆算符;2)有一个右逆算符和无穷多个左逆算符;3)有一个左逆算符和一个右逆算符,它俩必相等,唯有此时可简单地写为;4)既无左逆也无右逆。
,称这个算符为幺正算符。”
算符的厄米算符定义为:在任意、中的矩阵元恒由下式右方决定
()
由此,幺正算符[定义2]:
“算符为幺正算符的充要条件是
()
或者说
。”()
证明:若成立,则按定义,
由于、任意,所以
又因为有唯一的逆算符存在,对上式右乘以,即得
这就从第一种定义导出了第二种定义。类似,也能从第二种定义导出第一种定义。从而,幺正算符的这两种定义是等价的。
2, 幺正算符的性质
幺正算符性质:
i, 幺正算符的逆算符是幺正算符
证明:设, 则所以也是幺正算符。
ii, 两个幺正算符的乘积算符仍是幺正算符.
证明:设、是两个幺正算符,则
所以也是个幺正算符。
iii, 若一个幺正算符和单位算符相差一无穷小,这个幺正算符被称为无穷小幺正算符。这时可记为
()
为一个无穷小参数。于是的逆算符(准确到的一阶,以下同)为
()
利用的幺正性,
得到等式
()
说明,如将一个无穷小幺正算符表示为上述形式,则其中为厄米算符。也常称为幺正算符的生成元。于是,按以下方式可以用厄米算符构造出一个幺正算符
()
为任意实数。
3, 幺正变换
幺正算符对量子系统的变换称为幺正变换。具体讲,幺正变换包括对态的和对算符的两方面内容:
对波函数: ; ()
对力学量算符: . ()
两种变换必须配合使用,以保证任意概率幅在变换之后不改变, ()
这可以检验:右边。
例如,对一个量子系统施以三维富里叶积分变换:波函数和算符,正是下节常说的由坐标表象向动量表象变换,就是一种幺正变换。这时
()
()
此处算符是积分变换。中的为积分变数,为参量。因此当和后面的算符或坐标波函数作乘积时,必须和后面(算符或坐标波函数)的自变量取成相同并对其求积分,作为参量则保持不变(因此,类似于矩阵乘积中的列标——与后面取一致并求和,则类似于行标——保持固定);的操作则相反,为积分变数,为参量(此时为行标,为列标)。在多个算符连乘的运算中,中间的积分变数的记号必须相互区别,以免混乱。例如
()
()
()
说明,算符将任意动量波函数变为同一个波函数,是个恒等变换。还有,
()
()
由()和()式又可以得到
()
()式也可以换一种算法——作直接变换来得到,即


由()和()式,在变换下,Hamiltonian 改变成为。这里利用了无穷远处粒子密度为零的边条件,确切些说,利用了动量算符的厄米性条件(参见第一章第四节)。
强调指出,量子体系在任一幺正变换下不改变它的全部物理内容。这个“全部物理内容”包括:基本对易规则、运动方程、全部力学量算符方程、全部概率幅。
比如,容易检验:对易规则在变换下保持不变,
()
全部概率幅不变是说应当有
()
这里是粒子处在态时,找到它处于态的概率幅。即
上标表示它是在变换之前由坐标波函数算出的。接着,系统经受幺正变换:,,自变数成为。于是变换之后,这个概率幅应当表示为
现在来证明()式:实际上,



这表明任何概率幅的确没变。
反过来也可以说,两个量子体系,如能用某个幺正变换联系起来,它们在物理上就是等价的。这里,“物理上等价”的含义是从实验观测的角度说的。就是说,如果全部可观测力学量在两个系统中的观测值以及得到这些值的概率都对应相等,就说这两个系统在物理上是等价的,可以认为它们在物理上是相同的。因为从实验观点来看,它们之间已无区别。
※4, 反幺正变换
反幺正变换的全名是反线性的幺正变换。为阐述其内容,我们先定义反线性算符。一个反线性算符满足
()
这里、为任一复常数,、为任意波函数。就是说,如将某一常数抽出算符作用之外,需要对它取复数共轭。这是与线性算