余弦定理
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①已知三角形的任意两角及其一边;
问题1 运用正弦定理能解怎样的三角形?
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
问题2 如果已知三角形的两边及其夹角,能解这个三角形吗?
根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.
从量化的角度来看,如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角?
这就是我们这节课要讲的内容.
探究一如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一边?
用正弦定理试求,发现因A、B均未知,所以较难求边c.
由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题.
即:如图,在△ABC中,设BC=a, AC=b, AB=, b和∠C,求边c.
B
C
A
b
a
c
A
B
C
.
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,
,
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即
一、余弦定理:
注:
利用余弦定理,可以从已知的两边及其夹角求出三角形的第三条边.
,
,
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探究二这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?
,可以求出第四个量,当然能由三边求出一角.
二、余弦定理的推论:
注: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求出三角形的三个角.
,
,
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思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?
由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
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