第二节 Lesbesgue性质(P112.)
第五章积分论
L积分的7大性质
⑴零集上的任何函数的积分为0
⑵ f(x)可积当且仅当|f(x)|可积(f(x)是可测函数),
且
⑶单调性:
⑷线形:
(5)设f(x)是E上的可测函数, , 证明
证明:
则En为可测集,
即f(x)=0 。
( [
0 1/n
用到了积分的可加性
(6) 若f可积,则f几乎处处有限.
证明:
对每个n,有
(7)积分的绝对连续性(P114.)
说明:若|f(x)|<M,则只要取δ=ε/M即可,所以我们要
把f(x)转化为有界函数。
若f(x)在E上可积,则
及任何可测子集
有
即:当积分区域很小时,积分值也很小.
积分的绝对连续性的证明
证明:由于f(x)可积,故|f(x)|也可积
故对任意ε,存在E上的简单函数φ(x) ,
使在E上
由于φ(x)为简单函数,故存在M,使得|φ(x)|<M
yi
yi-1
分割值域
Lesbesgue积分
xi-1 xi
分割定义域
Riemann积分
例1. 设fn(x)为E上非负可测函数列,
用到了积分的可加性
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