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郑州大学研究生课程 （2010-2011学年第一学期）
202X
第七章
非线性方程（组）的数值解法
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数值分析Numerical Analysis
第七章 非线性方程（组）的数值解法
ISCM 2007,Beijing China
01
引言
二分区间法
迭代法及其加速
牛顿迭代法
弦截法
解非线性方程组的迭代解法
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§ 引言
在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类问题是非线性方程
　　　　 f (x)=0
的求根问题，其中f(x)为非线性函数。
方程f ( x) =0的根, 亦称为函数 f(x) 的零点。
非线性方程的例子
（1）在光的衍射理论中,需要求x-tanx=0的根
（2）在行星轨道的计算中, 需要求x-asinx=b的根
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当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程
f (x)=0为非线性方程。
如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程。
否则为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次多项式构成的方程
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为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的
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引言
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f (x)=0
如果f(x)可以分解成 ,其中m为
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正整数且 ,则称x*是f(x)的m重零点,或
称方程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。
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引言
§ 引言
公元前1700年的古巴比伦人有关于一、二次方程的解法。《九章算术》(公元前50~100年)其中“方程术”有联立一次方程组的一般解法。
1535年意大利数学家坦特格里亚(TorTaglia)发现了三次方程的解法，卡当(H·Cardano)从他那里得到了这种解法，于1545年在其名著《大法》中公布了三次方程的公式解，称为卡当算法。
后来卡当的学生弗瑞里(Ferrari)又提出了四次方程的解法。此成果更激发了数学家们的情绪，但在以后的二个世纪中，求索工作始终没有成效，导致人们对高次代数方程解的存在性产生了怀疑。
代数方程求根的历史
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§ 引言
代数方程求根的历史
1799年，高斯证明了代数方程必有一个实根或复根的定理，称此为代数基本定理，并由此可以立刻推理n次代数方程必有n个实根或复根。
但在以后的几十年中仍然没有找出高次代数方程的公式解。一直到18世纪，法国数学家拉格朗日用根置换方法统一了二、三、四方程的解法。
在继续探索5次以上方程解的艰难历程中，第一个重大突破的是挪威数学家阿贝尔(N·Abel1802-1829) 1824年阿贝尔发表了“五次方程代数解法不可能存在”的论文，但并未受到重视，连数学大师高斯也未理解这项成果的重要意义。
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引言
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代数方程求根的历史
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1828年17岁的法国数学家伽罗华(E·Galois 1811-1832)写出了划时代的论文“关于五次方程的代数解法问题”，指出即使在公式中容许用n次方根，并用类似算法求五次或更高次代数方程的根是不可能的。
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02
ISCM 2007,Beijing China
理论上已证明，对于次数n<=4的多项式方程,它的根可以用公式表示,而次数大于5的多项式方程,它的根一般不能用解析表达式表示.
因此对于f(x)=0的函数方程,一般来说,不存在根的解析表达式,而实际应用中,也不一定必需得到求根的解析表达式,只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。
常用的求根方法分为区间法和迭代法两大类。
求根问题包括：根的存在性、根的范围和根的精确化。
引言
引言
数值解法的三个步骤
① 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有
根，有几个根？
② 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔
离开来，这个过程实际上是获得方程各根的
初始近似值。
③ 根的精确化。将根的初始近似值按某种方法
逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止。
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