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常微分方程
§ 奇 解
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一、包络和奇解
常微分方程
包络的定义
1
定义1：对于给定的一个单参数曲线族：
2
曲线族()的包络是指这样的曲线,
3
它本身不包含在
4
曲线()中,但过这曲线的每一点有()中的一条曲线和它在这点相切.
5
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或定义：
常微分方程
对于给定的一个单参数曲线族：
其中
为参数.
若存在一条曲线
满足下列条件:
(1)
(2) 对任意的
存在唯一的
使得
且
与
在
有相同的切线.
则称
为曲线族
的一条包络线,
简称为包络.
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单参数曲线族：
常微分方程
例如
01
（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆. 如图
02
R
03
从图形可见,此曲线族的包络显然为:
04
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注:并不是每个曲线族都有包络.
常微分方程
例如: 单参数曲线族:
(其中c为参数)表示一族同心圆.
如图
从图形可见, 此曲线族没有包络.
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问题:对于给定的单参数曲线族:
常微分方程
01
如何判断它是否有包络?
02
如果有包络, 如何求?
03
根据定义, 假设该单参数曲线族有包络
04
则对任意的
05
存在唯一的
06
使得
07
于是得到对应关系:
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从而得到二元函数
常微分方程
使得
若
可用参数形式表示为:
记
则
于是,
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上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线
上.
由于
与
在M点有相同的切线,
而
与
在M点的切线的斜率
分别为
与
所以, 有
从而
由于在
上不同的点也在不同的
上,
即
因此
现在
而且还要满足
常微分方程
中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线
4
称为曲线族
5
因此, 包络线
1
任意一点M不仅要满足
2
把联立方程组:
3
的c-判别曲线
6
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2 包络的求法
常微分方程
注:
曲线族()的包络包含在下列两方程
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