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趣题——能否在等边三角形点阵中画一个正方形？.doc

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趣题:能否在等边三角形点阵中画一个正方形?
    这是一个非常有趣的问题:能否在一个无限大的等边三角形点阵中选取四个点,使得这四个点恰好构成一个正方形?这个问题有一个非常简单巧妙的解法,你能想到吗?



    答案:不可能。为了证明这一点,首先注意到,如果选定三角形点阵中任意两个不同的点,则以这两个点为顶点作等边三角形,所得的第三个顶点也一定在点阵中。这是因为,以任意一点为中心,将整个平面旋转 60 度,新的点阵与原来的点阵仍然是重合的。等边三角形的第三个顶点,其实可以看作是已知两点中的其中一点绕另一点旋转 60 度所得的,自然也就还在点阵中了。


    下面,假设点阵中存在正方形,则我们一定能找到一个最小的正方形。以正方形的每条边为边,向内作等边三角形,所得的第三个顶点也仍然在点阵上。然而,这四个新的顶点将会构成一个更小的正方形,于是产生矛盾。所以,我们永远无法在等边三角形点阵中作出一个正方形来。

题目来源:/Curriculum/Geometry/
大家有什么其他的证明方法吗?

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