高考数学难点突破_难点35__导数的应用问题.doc

难点35 导数的应用问题
利用导数求函数的极大(小)值,求函数在连续区间[a,b]上的最大最小值,或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化,.
●难点磁场
(★★★★★)已知f(x)=x2+c,且f[f(x)]=f(x2+1)
(1)设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式;
(2)设φ(x)=g(x)-λf(x),试问:是否存在实数λ,使φ(x)在(-∞,-1)内为减函数,且在
(-1,0)内是增函数.
●案例探究
[例1]已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1.
(1)试求常数a、b、c的值;
(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值,并说明理由.
命题意图:,通过对函数极值的判定,★★★★★级题目.
知识依托:,根据题设结构进行逆向联想,合理地实现了问题的转化,.
错解分析:本题难点是在求导之后,不会应用f′(±1)=0的隐含条件,因而造成了解决问题的最大思维障碍.
技巧与方法:考查函数f(x)是实数域上的可导函数,可先求导确定可能的极值,再通过极值点与导数的关系,建立由极值点x=±1所确定的相等关系式,运用待定系数法求值.
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
∵x=±1是函数f(x)的极值点,
∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根.
①
②
由根与系数的关系,得
又f(1)=-1,∴a+b+c=-1, ③
由①②③解得a=,
(2)f(x)=x3-x,
∴f′(x)=x2-=(x-1)(x+1)
当x<-1或x>1时,f′(x)>0
当-1<x<1时,f′(x)<0
∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数.
∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1,
当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.
[例2]在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的
B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?
命题意图:学习的目的,就是要会实际应用,本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识,思想方法以及能力.
知识依托:“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解.
错解分析:本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式.
技巧与方法:根据题设条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,适当选定变化,构造相应的函数关系.