五、相似矩阵及二次型.ppt

第五章相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
向量的内积
定义:设有n 维向量
令[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + …+ xn yn ,
则称[x, y] 为向量 x 和 y 的内积.
说明:
内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数.
内积可用矩阵乘法表示:当x 和 y 都是列向量时,
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + …+ xn yn = xT y .
定义:设有 n 维向量
令
则称[x, y] 为向量 x 和 y 的内积.
向量的内积
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + …+ xn yn = xT y.
内积具有下列性质(其中 x, y, z 为 n 维向量,l 为实数):
对称性: [x, y] = [y, x].
线性性质: [l x, y] = l[x, y].
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
当 x = 0(零向量) 时, [x, x] = 0;
当 x ≠ 0(零向量) 时, [x, x] > 0.
施瓦兹(Schwarz)不等式
[x, y]2 ≤[x, x] [y, y].
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + …+ xn yn = xT y.
内积具有下列性质(其中 x, y, z 为 n 维向量,l 为实数):
对称性: [x, y] = [y, x].
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + …+ xn yn = xT y.
内积具有下列性质(其中 x, y, z 为 n 维向量,l 为实数):
对称性: [x, y] = [y, x].
线性性质: [l x, y] = l[x, y].
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + …+ xn yn = xT y.
内积具有下列性质(其中 x, y, z 为 n 维向量,l 为实数):
对称性: [x, y] = [y, x].
线性性质: [l x, y] = l[x, y].
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
当 x = 0(零向量) 时, [x, x] = 0;
当 x ≠ 0(零向量) 时, [x, x] > 0.
[x, x] = x12 + x22 + …+ xn2 ≥ 0
回顾:线段的长度
x1
x2
x1
x2
x3
P(x1, x2)
O
P
O
若令 x = (x1, x2)T,则
若令 x = (x1, x2, x3)T,则
[x, x] = x12 + x22 + …+ xn2 ≥ 0