应用数学系
王海军
whjee@
排队论模型及应用
一、背景
例子顾客在超市排队付款,汽车排队过收费站
旅客在售票处排队购买火车票
病人排队候诊
a. 增加收银台,则增加投资,有可能发生空闲浪费;
b. 减少收银台,顾客排队时间太长。
选择最优收银台数
二、随机服务系统
顾客等待服务接受服务顾客离开
三、常用排队论模型—M/M/s模型
(1) 顾客到达规律: Possion过程
定义1 时间段t内到达的顾客数,即
定义2 时刻t顾客数满足:
顾客到达的时间间隔独立同
指数分布,即
(2) 服务时间:指数分布
服务时间
(3) 排队规则:先到先服务
四、一般排队论模型
(1)爱尔朗(Erlang)分布
若独立同分布于指数分布
,则
称其为阶爱尔朗分布。
密度函数
时爱尔朗分布即为指数分布,
顾客来到规律:
顾客来到的时间间隔独立同分布于爱尔朗分布;
顾客接受服务时间:
假如顾客接受连续串联的个服务台的服务,各服
务台的服务时间独立同分布于指数布,
则顾客接受服务总时间服从爱尔朗分布。
(2)更新过程
顾客来到时间间隔或服务时间独立同分布,即
独立同分布。
(3)其他排队规则
后到先服务仓库里存放物品的选取
随机服务停车场上选乘出租车
优先服务医院急诊银行金卡用户
五、M/M/s模型的应用
1. M/M/1系统 1个服务台
(1) 建模
:时刻t系统内有n个顾客的概率
事件包含三种情况:
且内到达一人;
且内离开一人;
且内无人到达或离开。
根据全概率公式
动态模型:
稳定状态: 与时间t无关
解此方程组得稳定状态解为:
令为服务强度,则由
知
(2) 稳态解
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