余弦定理教学案例.doc

高中数学教学中“余弦定理”教学案例分析
一设计思路
建构主义强调,学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中,在以往的学习中,他们已经形成了丰富的经验,小到身边的衣食住行,大到宇宙、星体的运行,从自然现象到社会生活,他们几乎都有一些自己的看法。而且,有些问题即使他们还没有接触过,没有现成的经验,但当问题一旦呈现在面前时,他们往往也可以基于相关的经验,依靠他们的认知能力,形成对问题的某种解释。而且,这种解释并不都是胡乱猜测,而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以,教学不能无视学生的这些经验,另起炉灶,从外部装进新知识,而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点,引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。
二、教学过程
1、设置情境
自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆 BC的长度(如下图),已知车箱的最大仰角为60°,,AB与水平线之间的夹角为6°20′,,计算BC的长(保留三个有效数字)。
2、提出问题
师:大家想一想,能否把这个实际问题抽象为数学问题?(数学建模)
能,在三角形 ABC,已知AB=,AC=,∠BAC=60°+6°20′=66°20′,求BC的长。
师:能用正弦定理求解吗?为什么?
不能。正弦定理主要解决:已知三角形的两边与一边的对角,求另一边的对角;已知三角形的两角与一边,求角的对边。
师:这个问题的实质是什么?
在三角形中,已知两边和它们的夹角,求第三边。(一般化)三角形 ABC,知AC=b,BC=a,角C,求AB。
3、解决问题
师:请同学们想一想,我们以前遇到这种一般问题时,是怎样处理的?
先从特殊图形入手,寻求答案或发现解法。(特殊化)
可以先在直角三角形中试探一下。
直角三角形中 c 2 =a 2 +b 2 (勾股定理角C为直角)斜三角形ABC中(如图3),过A作BC边上的高AD,将斜三角形转化为直角三角形。(联想构造)
师:垂足 D一定在边BC上吗?
不一定,当角 C为钝角时,点D在BC的延长线上。
(分类讨论,培养学生从不同的角度研究问题)
在锐角三角形 ABC中,过A作AD垂直BC交BC于D,在直角三角形ADB中,AB 2 =AD 2 +BD 2 ,在直角三角形ADC中,AD=ACsinC, CD=ACcosC 即AD=bsinC, CD=bcosC
又 BD=BC-CD,即BD=a-bcosC
∴ c 2 =(bsinC) 2 +(a-bcosC) 2
=b 2 sin 2 C+a 2 -2abcosC+b 2 cos 2 C
=a 2 +b 2 -2abcosC
同理 a 2 =b 2 +c 2 -osA
b 2 =a 2 +c 2 -osB
在钝角三角形 ABC中,不妨设角C为钝角,过A作AD垂直BC交BC的延长线于D,
在直角三角形 ADB中,AB 2 =AD 2 +BD 2 ,在直角三角形ADC中,AD=ACsin(π-C),CD=ACcos(π-C),即AD=bsinC, CD=-bcos C,又BD=BC+CD,即BD=a-bcosC
∴ c 2 =(bsinC) 2 +(a-bcosC