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第二节典型输入作用和 时域性能指标
5/12/2018
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典型初始状态
这表明,在外作用加入系统之前系统是相对静止的,被控制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。
规定控制系统的初始状态均为零状态,即在时
一、典型初始状态
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⒈脉冲函数:
典型输入作用
理想单位脉冲函数:
[定义]: ,且,其积分面积为1。
出现在时刻,积分面积为A的理想脉冲函数定义如下:
且
其拉氏变换后的像函数为:
二、典型输入作用
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⒉阶跃函数:
A阶跃幅度,A=1称为单位阶跃函数,记为1(t)。
实际单位脉冲函数:
和
当时,
其拉氏变换后的像函数为:
典型输入作用
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⒊斜坡函数(速度阶跃函数):
B=1时称为单位斜坡函数。
典型输入作用
⒋抛物线函数(加速度阶跃函数):
C=1时称为单位抛物线函数。
其拉氏变换后的像函数为:
其拉氏变换后的像函数为:
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典型输入作用
[提示]:上述几种典型输入信号的关系如下:
⒌正弦函数: ,式中,A为振幅, 为频率。
其拉氏变换后的像函数为:
分析系统特性究竟采用何种典型输入信号,取决于实际系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。
当系统的输入具有突变性质时,可选择阶跃函数为典型输入信号;当系统的输入是随时间增长变化时,可选择斜坡函数为典型输入信号。
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典型输入作用
⒈单位脉冲函数响应:
⒉单位阶跃函数响应:
⒊单位斜坡函数响应:
⒋单位抛物线函数响应:
[提示]:上述几种典型响应有如下关系:
单位脉冲函数响应
单位阶跃函数响应
单位斜坡函数响应
单位抛物线函数响应
积分
积分
积分
微分
微分
微分
三、典型响应:
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时域分析以线性定常微分方程的解来讨论系统的特性和性能指标。设微分方程如下:
式中,x(t)为输入信号,y(t)为输出信号。
我们知道,微分方程的解可表示为: ,其中, 为对应的齐次方程的通解,只与微分方程(系统本身的特性或系统的特征方程的根)有关。对于稳定的系统,当时间趋于无穷大时,通解趋于零。所以根据通解或特征方程的根可以分析系统的稳定性。
为特解,与微分方程和输入有关。一般来说,当时间趋于无穷大时特解趋于一个稳态的函数。
线性微分方程的解
四、线性微分方程的解
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系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。瞬态分析是分析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论上说,只有当时间趋于无穷大时,才进入稳态过程,但这在工程上显然是无法进行的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间里的瞬态过程,在这段时间里,反映了主要的瞬态性能指标。
综上所述,对于稳定的系统,对于一个有界的输入,当时间趋于无穷大时,微分方程的全解将趋于一个稳态的函数,使系统达到一个新的平衡状态。工程上称为进入稳态过程。
线性微分方程的解
如某系统的单位阶跃响应曲线如图所示:
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通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过程的时域性能指标。稳定的随动系统(不计扰动)的单位阶跃响应函数有衰减振荡和单调变化两种。
(一)衰减振荡:
具有衰减振荡的瞬态过程如图所示:
瞬态过程的性能指标(衰减振荡)
⒈延迟时间:
输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。
五、瞬态过程的性能指标
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