问题的提出
一元函数的泰勒公式:
6-7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式
问题:
能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数,并能具体地估算出误差的大小.
即
设
)
,
(
y
x
f
z
=
在点
)
,
(
0
0
y
x
的某一邻域内连续
且有直到
1
+
n
阶的连续偏导数
,
为此邻域内任一点
,
能否把函数
近似地表达为
的
n
次多项式,
且误差是当
时比
n
r
高阶的无
穷小.
0
0
,
y
y
x
x
-
=
-
=
一元函数的泰勒公式中令n=0,得拉格朗日中值公式:
1. 二元函数的微分中值定理
定理1 (二元函数的拉格朗日中值公式)
或写成
证
有链规则得
另一方面,又一元函数的拉格朗日中值定理,可以推
出,存在一个, ,使得
即
证毕.
推论若函数z=f(x,y)在区域D 内具有连续的偏导数且
满足证明:f(x,y)在D内为一常数.
证
于是有
即f(x,y)在D内为
一常数.
函数在一点的阶微分为:
如:
2. 二元函数的泰勒公式
利用这种记号拉格朗日种值公式可写成:
定理2
证
显然由链规则
且
递推地得到
其中
--- 拉格朗日余项
则
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