第八章 非线性系统分析.pdf

第八章非线性系统分析
预备知识:
分段函数的概念
函数的泰勒展开
傅立叶级数
线性系统的稳定性分析
本章重点:
小范围线性近似法
相平面概念及相轨迹作图方法
非线性控制系统的相平面分析
非线性环节的描述函数
非线性控制系统描述函数分析
第一节非线性系统概述
主要内
容:
非线性系统与线性系统比较
非线性系统数学模型
非线性系统研究方法
典型非线性环节输入输出特性

:线性系统的最大特点是它具有可叠
加性和齐次性,但对于非线性系统,这个特点不再具有。
,线性系统的动态性能与输
入信号无关,而非线性系统的动态性能则与输入信号有
关。同时,对非线性系统其输出可能产生畸变。
,而与系统
的初始状态和输入信号无关,而非线性系统的稳定性不仅
与系统的初始状态有关,也与系统的输入信号的类型和幅
值有关。
,串联环节的互换对系统输出响应并没有
影响,而在非线性系统中,这可能会导致一个稳定的系统
变为不稳定,或使系统的输出发生根本性的变化,
,即所谓自持振荡;而线
性系统运动状态有两种:收敛和发散。
6. 非线性系统的运动方式比线性系统要复杂得多。从数学
角度来看,其解的存在性和唯一性都值得研究。从控制的
角度来看,目前的研究方法虽很多,但没有系统性的和普
遍性的解决方案。

一般非线性系统数学模型可用下式描述:
⎡d n x(t) d n−1x(t) dx(t) d mu(t) ⎤
, ,......, , x(t), ,......,u(t) = 0
F ⎢ n n−1 m ⎥
⎣ dt dt dt dt ⎦
或写成多变量的形式:
•
X (t) = f (X (t),U (t),t)

:该方法适用于任何线性系统或非线
性系统的稳定性分析,通过构造合适的李雅普诺夫函数,
即能量函数,可分析系统的各类稳定性。
:这是一种在平衡点的近似线性化方
法,通过在平衡点附近的泰勒展开,可将一个非线性微分
方程化为线性微分方程,然后按线性系统的理论进行处
理。
:是一种等效线性化方法。在一定的条件
下,用非线性元件的输出的基波分量作为在正弦信号输入
时系统的非正弦输出,从而应用奈奎斯特稳定性判据分析
系统的稳定性和自持振荡问题。但该近似方法的应用是有
一定条件的,否则所得结果没有价值。
:是一种图解法,仅适用于一阶或二阶系统。
通过在X—平面上绘制非线性系统的运动轨迹,可分析
系统的稳定性和一些动态性能。对于任意的二阶以下的非
线性系统均适用。
:是研究复杂非线性系统的一种非常有效的
方法,但它只能给出特解,无法得到解析解,因此缺乏对
一般非线性系统的指导意义。
本章仅介绍小范围线性近似法、相平面法
和描述函数法。


死区非线性特性的数学表
达式为
⎪⎧<0 x ∆
y = ⎨
⎩⎪kx( − sgn(x)) x>∆