5.5定积分的应用-习题.doc

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⑴与;
【解】平面图形如右
由解得曲线和直线的交点为和,
由图可见,按轴方向进行分析,平面图形的边界为
上曲线,下曲线,左直线,右直线,
所以,平面图形的面积为:
。
⑵,及;
【解】平面图形如右
由解得曲线和直线的交点为和,
由图可见,按轴方向进行分析,平面图形的边界为
上曲线,下曲线,左直线,右直线,
所以,平面图形的面积为:
。
⑶与;
【解】平面图形如右
由解得曲线和直线的交点为和,
由图可见,按轴方向进行分析,平面图形的边界为
上曲线,下曲线,左直线,右直线,
所以,平面图形的面积为:
。
⑷,及;
【解】平面图形如右
由解得曲线和直线的交点为,
曲线与轴交于点,
由图可见,按轴方向进行分析,平面图形的边界为
上曲线,下曲线,左直线,右直线,
所以,平面图形的面积为:
。
⑸,及,();
【解】平面图形如右
由解得曲线和直线的交点为,
由解得曲线和直线的交点为,
由图可见,按轴方向进行分析,平面图形分左右两块,各自的边界为
左块——矩形DEAC:
右直边,左直边,上直线,下直线,
矩形DEAC的面积为:;
右块——曲边梯形ABC:
右曲线,左曲线,上直线,下直线,
曲边梯形ABC的面积为:
所以,平面图形的面积为:
。
⑹与(两部分都要计算)。
【解】平面图形如右
由解得曲线和曲线的交点为,
由图可见,按轴方向进行分析,平面图形分上下两块,
其中上块为两相对接的弓形AOBM,其边界为
上曲线,下直线,左直边,右直边,
其面积为:
;
下块为两相对减的弓形ANBO:
其面积为:。
,该曲线过原点的切线的左方及轴上方之间的图形的面积。
【解】平面图形如右
设的过原点的切线方程为,
由消去得,显见当时方程组有唯一解,
即知切点为,切线方程为,
由图可见,按轴方向进行分析,平面图形边界为:
右曲线,左曲线,上直边,下直边,
从而其面积为:
。
。
【解】先求出抛物线在点和处的切线方程,
由,得,,于是
抛物线过点的切线方程为,即为,
过点的切线方程为,即为,
由消去,得两切线交点的横坐标为,
即得抛物线及其在点和处的切线所围成的图形如下:
由图可见,过两切线交点的直线将图形分为左右两块,按轴方向进行分析,得平面图形边界为:
左块:上曲线,下曲线,左直边,右直边,
右块:上曲线,下曲线,左直边,右直边,
从而其面积为:
,曲线,直线及所围图形的面积。
【解】平面图形如右
由图可见,按轴方向进行分析,平面图形边界为:
上曲线,下曲线,左直边,右直边,
从而其面积为:
。
、轴旋转产生的立体的体积:
⑴曲线与直线,,所围成的图形;
【解】平面图形如右
曲线与直线,,围成的图形是个曲边梯形,
曲线与直线交点为,与直线交点为。
下面分别计算该平面图形分别绕轴、轴旋转产生的立体的体积:
①该曲边梯形绕轴旋转所得旋转体是个曲边台体,
曲边台体垂直于轴的薄片是个圆盘,圆盘的半径是,厚度为,则圆盘的体积为,
圆盘厚度的变化范围为,于是,旋转体的体积为:
。
②该曲边梯形绕轴旋转所得旋转体是个空心柱体,为大柱体上半部分挖去一个曲边台体,下半部份挖去一个小柱体而构成,
于是该旋转体的体积由三个旋转体构成:大柱体,曲边台体,小柱体,
其中,大柱体的旋转半径为,厚度的变化范围为,于是,大柱体的体积为;
小柱体的旋转半径为,厚度的变化范围为,于是,小柱体的体积为;
曲边台体中,垂直于轴的薄片是个圆盘,圆盘的半径是,厚度为,则圆盘的体积为,圆盘厚度的变化范围为,于是,旋转体的体积为:
,
综上,得该曲边梯形绕轴旋转所得旋转体体积为
。
⑵上,曲线与直线及所围成的图形;
【解】平面图形如右
曲线与直线,围成的图形是个曲边梯形,
曲线与直线交点为。
下面分别计算该平面图形分别绕轴、轴旋转产生的立体的体积:
①该曲边梯形绕轴旋转所得旋转体是个曲边锥体,
曲边锥体垂直于轴的薄片是个圆盘,圆盘的半径是,厚度为,则圆盘的体积为,圆盘厚度的变化范围为,于是,旋转体的体积为:
。
②该曲边梯形绕轴旋转所得旋转体是个空心柱体,为柱体上部分挖去一个曲边倒锥体而构成,
于是该旋转体的体积由两个旋转体构成:柱体,曲边锥体,
其中,柱体的旋转半径为,厚度的变化范围为,于是,大柱体的体积为;
曲边锥体的垂直于轴的薄片是个圆盘,旋转半径为,厚度为,则圆盘的体积为,圆盘厚度的变化范围为,得曲边锥体的体积为
,
综上,得该曲边梯