平面几何四心讲义.doc

三角形四心竞赛讲义
一、“四心”分类讨论 1
1、外心 1
2、内心 2
3、垂心 3
4、重心 5
5、外心与内心 6
6、重心与内心 6
7、外心与垂心 7
8、外心与重心 8
9、垂心与内心 8
10、垂心、重心、外心 8
旁心 9
二、“四心”的联想 9
1、由内心、重心性质产生的联想 9
2、重心的巧用 11
3、三角形“四心”与一组面积公式 12
三角形各心间的联系 15
与三角形的心有关的几何命题的证明 16
三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活,是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型,因此,它是近几年来升学、竞赛的热点。92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用,以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法,提高灵活运用有关知识的能力。
一、“四心”分类讨论
1、外心
三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心,即外接圆圆心。△ABC的外心一般用字母O表示,它具有如下性质:
(1)外心到三顶点等距,即OA=OB=OC。
(2)∠A=。
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心,与外心有关的几何定理,尤其是圆周角与圆心角关系定理,就可以大显神通了。下面我们举例说明。
例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点,此点称为三角形的外心.
已知:△ABC中,XX′,YY′,ZZ′分别是BC,AC,AB边的垂直平分线,求证:XX′,YY′,ZZ′相交于一点(图3-111).
例1、如图9-1所示,在△ABC中,AB=AC,任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ,求证:△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆。
例2、如图9-2所示,在△ABC的大边AB上取AN=AC,BM=BC,点P为△ABC 的内心,求证:∠MPN=∠A+∠B。
例3、AB为半圆O的直径,其弦AF、BE相交于Q,过E、F分别作半圆的切线得交点P,求证:PQ⊥AB。
2、内心
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心。△ABC的内心一般用字母I表示,它具有如下性质:
(1)内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角。
(2)∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,则D与顶点B、C、内心I等距(即D为△BCI的外心)。
(3)∠BIC=90º+∠A,∠CIA=90+∠B,∠AIB=90º+∠C。
例1证明:三角形三内角平分线交于一点,此点称为三角形的内心.
已知:△ABC中,AX,BY,CZ分别是∠A,∠B,∠C的平分线,求证:AX,BY,CZ交于一点(图3-110).
说明若证明几条直线共点,可先证其中两条直线相交,再证这个交点分别在其余各条直线上,则这几条直线必共点于此交点.
由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等,所以以此交点为圆心,以此点到各边的距离为半径作圆,此圆必与三角形三边内切,所以称此交点为三角形内切圆圆心,简称内心.
例1、如图9-4所示,在△ABC中,AB=AC,有一个圆内切于△ABC的外接圆,且与AB、AC分别相切于P、Q,求证:线段PQ的中点O是△ABC的内心。
说明:本题还可证明O到△ABC的三边距离相等,得到O为△ABC的内心。
例2、如图9-5所示,I为△ABC的内心,求证:△BIC的外心O与A、B、C四点共圆。
在圆内接四边形ABCD中,顺次取△ABD,△ABC,△CDB、△CDA的内心。求证:四边形是一个矩形。
3.△ABC中,I是内心,过I作DE直线交AB于D,:DE=DB+EC.
3、垂心
三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。△ABC的垂心一般用字母H 表示,它具有如下的性质:
(1)顶点与垂心连线必垂直对边,即AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB。
(2)若H在△ABC内,且AH、BH、CH分别与对边相交于D、E、F,则A、F、H、E;B、D、H、F;C、E、H、D;B、C、E、F;C、A、F、D;A、B、D、E共六组四点共圆。
(3)△ABH的垂心为C,△BHC的垂心为A,△ACH的垂心为B。
(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。
例4证明:三角形三条高线交于一点,这点称为三角形的垂心.
已知:如图3-114,△ABC中,三边上的高线分别是AX,BY,CZ,X,Y,Z为垂足,求证:AX,BY,CZ交于一点.
分析要证AX,BY,CZ相交于一点,可以利用前面的证明方法去证,,可以考虑利用三角形三边垂