第1章命题逻辑-8.ppt

命题逻辑的推理理论
在逻辑学中,把从前题(又叫公理或假设)出发,依据公认的推理规则,推导出一个结论,这一过程称为有效推理或形式证明。所得结论叫做有效结论,这里最关心的不是结论的真实性而是推理的有效性。前提的实际真值不作为确定推理有效性的依据。但是,如果前提全是真,则有效结论也应该真而绝非假。
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在数理逻辑中,集中注意的是研究和提供用来从前提导出结论的推理规则和论证原理,与这些规则有关的理论称为推理理论。
提请注意,必须把推理的有效性和结论的真实性区别开。有效的推理不一定产生真实的结论,产生真实结论的推理过程未必一定是有效的。再说,有效的推理中可能包含假的前提;而无效的推理却可能包含真的前提。
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可见,推理的有效性是一回事,前提与结论的真实与否是另一回事。所谓推理有效,指它的结论是它的前提的合乎逻辑的结果,也即,如果它的前提都为真,那么所得结论也必然为真,而并不是要求前提或结论一定为真或为假。如果推理是有效的话,那么不可能它的前提都为真时而它的结论为假。
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推理也称论证,它是指由已知命题得到新的命题的思维过程,其中已知命题称为推理的前提或假设,推得的新命题称为推理的结论。
在数理逻辑中,前提H是一个或者n个命题公式H1,H2,···Hn;结论是一个命题公式C。由前提到结论的推理形式可表为H1,H2,···,HnC,其中符号表示推出···。可见,推理形式是命题公式的一个有限序列,它的最后一个公式是结论,余下的为前提或假设。
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如果存在H1,H2,…,Hn,C的一个指派,使得每个Hi(1≤i≤n)为真而C为假推理形式H1,H2,…,HnC是无效的;否则,推理是有效的,此时称C是H1,H2,…,Hn的有效结论,或称C是从前提H1,H2,…,Hn逻辑推出的结论。
推理形式H1,H2,…,HnC是有效的,当且仅当命题公式(H1∧H2∧…∧Hn)→C是永真式,亦即(H1∧H2∧…∧Hn)C。
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在数理逻辑中,从前提推导出结论,要依据事先提供的公认的推理规则,它们是:
①P规则(也称前提引入规则):在推导过程中,前提可视需要引入使用。
②T规则(也称结论引入规则):在推导过程中,前面已导出的有效结论都可作为后续推导的前提引入。
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此外,在从前提推出的结论为条件式时,还需要下面规则:
③CP规则(也称条件证明引入规则):若推出有效结论为条件式R→C时,只需将其前件R加入到前提中作为附加前提且再去推出后件C即可。
CP规则的正确性可由下面定理得到保证:
若H1,H2,…,Hn,RC,则H1,H2,…,HnR→C。
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在推理过程中,除使用推理规则后,还需要使用许多条推理定律,常用的蕴含式和等价式见课本P31 表1-23、1-24
由于推理定律是确定有效结论的不可缺少的重要根据,因此要牢记并熟练运用它们。
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判断有效结论的常用方法有真值表法,直接证法和间接证法。下面分别讨论之。
(1)真值表法
根据给定前提H1,H2,…,Hn和结论C,构造条件式(H1∧H2∧…∧Hn)→C的真值表,若它为永真式,则结论C是有效的。
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为了简便,根据条件式D:(H1∧H2∧…∧Hn)→C的真值定义,只需列出待证命题公式D的前件和后件的真值表,就可判断结论C的有效性。方法有二:(a) 在真值表中,先找出前提H1,H2,…,Hn的真值均为真的行,若相应行中结论C 的真值也都为真,则D为真,即C为有效结论。(b)在真值表中,先找出结论C的真值为假的所有行,若这些行中,前提H1,H2,…,Hn的真值都至少有一个为假,则D为真,即C为有效结论。
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