[数学]计算方法线性方程组解法.ppt

计算方法(力学系本科生)
第三章线性方程组解法
(Solution for Linear Algebraic Equations )
§ 问题的提出
第三章线性方程组解法
n阶线性方程组
§ 问题的提出
§ 问题的提出
线性方程组Ax=b,其中A是n维方阵,x是n维未知数向量,b是n维常数向量。
§ 问题的提出
如果A是非奇异阵时,方程组有唯一解,且可以用克莱姆(Grammer)法则表示:
其中xi是解向量x*的第i个分量,D=detA, Di是用b代替A的第i列后得到矩阵的行列式。
§ 问题的提出
克莱姆方法求解计算量太大,需要计算(n+1)个n阶行列式,共需要(n+1)!次乘法运算。
§ 问题的提出
求解线性方程组的数值方法有两大类:
直接法(direct methods)。经过有限次算术运算可求方程组精确解的方法(实际上,由于舍入误差不可避免,一般得不到精确解)。适合于求解低阶稠密阵方程组。
§ 问题的提出
2) 迭代法(iterative methods)。采用极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。迭代法需要计算机存储单元较少,对计算机要求不高,程序设计简单,但有收敛性和收敛速度方面的问题。迭代法是求解大型稀疏矩阵方程的重要方法。
§ 问题的提出
我们在本章将要学习迭代法有:
雅可比(Jacobi)迭代法
高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法
超松弛迭代法(essive overrelaxation method, SOR)。
§ 问题的提出
追赶法(Forward elimination and backward substitution)。
我们在本章将要学习直接解法有:
高斯消去法(Gauss Elimination),
高斯主元素消去法(Gauss Elemination with pivoting),
三角分解法(LU position),