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基于数学史的勾股定理教学探究
[摘要] 数学史对于数学教育的意义不言而喻,它对于践行新课改的知识与技能、过程与方法以及情感态度价值观的三维目标,倡导学生自主探究学习的教学模式等方面具有重要作用. 本文以勾股定理教学为例,探讨了上述问题.
[关键词] 数学史;勾股定理;教育价值
数学史对于数学教育的价值已不仅仅停留在理论层面的讨论. 翻阅近两年的数学教育类杂志可以发现,越来越多的中小学数学教师也在撰文阐述自己在教学中使用数学史的一些体会和教学案例. 在课程改革不断深入的当下,数学史融入数学教学对于践行课改的理念,培养全面发展有理想、有道德的高素质数学人才等方面确实有着积极的推进作用. 本文将给出一个基于数学史的勾股定理教学设计思路,旨在抛砖引玉,期待一线教师在不断加强自身数学史修养的同时,开发出更多基于数学史的优秀教学案例.
提出问题
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 此定理在西方叫做毕达哥拉斯定理,相传,这是由古希腊数学家毕达哥拉斯及其徒众发现的,后人更渲染其事,说毕达哥拉斯诸人十分重视这项发现,特地宰了一百头牛向天神奉献答谢,所以中世纪时这条定理被称作“百牛定理”. 在历史上,这条定理的名称特别多,在不同时代、不同地区都有不同的名称,包括
“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希腊数学家欧几里得在公元前300年左右编写了著名的经典之作《几何原本》,其中一个定理就是毕达哥拉斯定理:
“在直角三角形中,直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和.”
接下来的这个定理是毕达哥拉斯定理的逆定理:
“如果在一个三角形中,一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和,则夹在后两边之间的角是直角.”
这两个定理合起来说明了直角三角形a,b,c三边的平方和关系:a2+b2=c2,界定了直角三角形.
我载,我国数学家早在公元前1120年就对勾股定理有了明确认识. 勾股定理从发现到现在已有五千年的历史,在西方,它被称为毕达哥拉斯定理,但它的发现时间却比中国人晚了几百年. 勾股定理是把直角三角形与三边长的数量关系联系在一起,体现了数形结合思想.
定理的证明
在新课程人教版教材(八年级下册)中,先是引用毕达哥拉斯的故事引出勾股定理,然后利用中国古代数学家赵爽的“弦图”证明了勾股定理. “弦图”是以弦为边长的正方形,在“弦图”内作四个相等的勾股形,各以正方形的边长为弦. “弦图证法”是依据“出入相补原理”,根据“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理的. 赵爽的“弦图证法”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,它是我国古代数学的骄傲,正因如此,这个图案被选为2002年北京召开的国际数学家大会会徽.
[图1]
引导学生探索其他解法
上述是我国古代数学家赵爽的“弦图”证法,即利用“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理. 这一方法给我们一定的启示,即围绕面积相等这一条,把原图形拆成几部分,然后根据面积相等实现定理的证明. 教师可以提示学生围绕这一观点,探索其他证明方法,学生提供的证法有可能和历史上大数学家的证法一致.