第六章线性系统的多项式矩阵理论线性系统理论课件.ppt

在经典线性控制理论中,频率域方法曾是最为主要并占统治地位的一类方法,研究对象为单输入单输出线性时不变系统,系统描述为传递函数和频率响应,研究领域涉及系统性能的分析和综合。
20世纪70年代以来,在线性系统状态空间方法的影响和推动下,以多项式矩阵理论为基础的线性时不变系统的复频率域理论得到很大发展,形成较为完整和成熟的现代线性系统复频率域理论。罗森布罗克()和沃罗维奇(. Wolovich)在20世纪70年代前期的开创性研究是这一理论发展的起点。
现代复频率域理论的特点是,采用传递函数矩阵的矩阵分式描述作为系统数学模型,并以多项式矩阵方法作为系统分析和综合的基本工具。
第六章线性系统的多项式矩阵理论
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对严真传递函数矩阵,设其外部等价的任一状态空间描述为完全能控,
6. 2 传递函数矩阵的实现理论
完全能观测,则有
对真或连续时间线性时不变系统,称一个状态空间描述
或简写为(A,B,C,E)是其传递函数矩阵的一个实现,如果两者为外部等价即成立关系式:
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传递函数矩阵的实现(A,B,C,E)的结构复杂程度可由其维数表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维数,即有
传递函数矩阵的实现(A,B,C,E)满足强不唯一性。即对传递函数矩阵,不仅其实现结果为不唯一,而且其实现维数也为不唯一。
(最小实现) 最小实现定义为传递函数矩阵的所有实现(A,B,C,E)中维数最小的一类实现。实质上,最小实现就是外部等价于的一个结构最简状态空间模型。
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(实现间关系) 对传递函数矩阵,其不同实现间一般不存在代数等价关系,但其所有最小实现间必具有代数等价关系。
(最小实现判据) 设(A,B,C)为严真传递函数的
一个实现,则其最小实现的充分必要条件是(A,B)完全能控,(A,C)完全能观测.
证: 先证必要性。已知(A,B,C)为最小实现,欲证(A,B)能控和(A,C)能观测。采用反证法,反设(A,B,C)不是联合能控和能观测,则可通过系统结构规范分解找出其能控和能观测部分,且必成立:
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据定义, 也是的实现,且具有更小维数。这表明,(A,B,C)不是的最小实现,矛盾于已知条件。反设不成立,即(A,B,C)能控和能观测。必要性得证。
严真传递函数矩阵的最小实现为不唯一但满足广义唯一性。即若(A,B,C)和为的任意两个n维最小实现,则必可基此构造出一个非奇异常阵T使成立:
充分性,略。证毕。
对传递函数矩阵,其史密斯-麦克米伦形为
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其中,U(s)和 V(s)为和单模阵。那么, 的状态空间实现的最小维数为
标量传递函数的实现
(6-4)
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式(6-4)所示标量传递函数g(s)的严真部分n(s)/d(s)的能控规范形实现具有形式:
能控规范形实现
(6-5)
能观测规范形实现
式(6-4)所示标量传递函数 g(s)的严真部分n(s)/d(s)的能观测规范形实现具有形式:
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考虑以有理分式矩阵描述给出的真传递函数矩阵
进而,表为“严真传递函数矩阵阶”和“阶常阵E”之和,即
(6-6)
传递函数矩阵的实现
(6-7)
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且有。再表诸元即诸元的最小公分母
d(s)为
基此,严真传递函数矩阵可进而表为
其中, 为常阵.
对式(6-8)的以有理分式矩阵描述给出的严真传递函数矩阵,其能控形实现具有形式:
能控形实现
(6-8)
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而真传递函数矩阵的能控形实现为。
对式子(6-8)的以有理分式矩阵描述给出的严真传递函数矩阵,其能观测形实现具有形式:
(6-9)
能观形实现
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