单摆运动过程的matlab simulink建模与仿真.doc

单摆运动过程的MATLA&Simulink建模与仿真
作者:王军 Email:wj820420@
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在高中物理学习过程中,:
细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直接与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆.
根据上面的定义,得出以下试验结论.
(1)当摆角很小时,周期与振幅无关;
(2)周期与摆球质量无关;
(3)单摆振动的周期与摆长有关;单摆周期的平方与摆长成正比.
以上结论是在理想条件下得到的结论,现对这个理想条件下的单摆进行分析与仿真,将仿真结果与以上结论进行对比验证.
1 理想模式下单摆的数学模型.
首先根据理想条件,摆线质量忽略不计,空气阻力忽略不计.
设摆线长度为l,摆球质量为m,重力加速度为g,系统的初始时刻为t=0,在任意t≥0时刻摆球的线速度为v(t),角速度为ω(t),角位移(t),以单摆的固定位置为坐标原点建立直角坐标系,:
在 t 时刻,摆锤所受切向力ft(t)是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力,即
(t) = mg sin(t)
完全理想条件下,根据牛顿第二运动定律,切向加速度为:
a(t) = g sin(t)
因此得到单摆的运动微分方程组:
g sin(t) (1)
(2)
使用欧拉算法求解:将dv(t) = v(t + dt) - v(t)和d(t) = (t + dt) -(t)代入
式(1)及式(2)中,并以仿真步进量Δ作为dt 的近似,得到基于时间的递推方程:
v (t +Δ)= v (t)+gsin( t)Δ(3)
(t +Δ)=(t)-Δ(4)
注:本递推方程仅适合于摆角,也就是要求无论初始速度多少,摆角的最大幅度不能超过90度,如果超过90度比并且初始速度为0时放手小球会自由下落一段时间才能摆动,本递推方程无法描述.
据此编写仿真程序:
在MALAB命令窗口输入以下命令:
dt=; %仿真步进
T=16; %仿真时间长度
t=0:dt:T;%仿真计算时间序列
g=;
L=;
th0=; %初始摆角设置,不能超过π/2,即要求球摆动开始时绳子就要有拉力,如果初始摆角超过π/2,则球会经过一阵自由落体后才能进行摆动,上面的递推方程不能满足该情形.
v0=0; %初始摆速设置
v=zeros(size(t)); %程序存储变量预先初始化,可提高执行速度
th=zeros(size(t));
v(1)=v0;
th(1)=th0;
for i=1:length(t) %仿真求解开始
v(i+1)=v(i)+g*sin(th(i)).*dt;
th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt;
end %使用双坐标系统来作图
[AX,B1,B2]=plotyy(t,v(1:length(t)),t,th(1:length(t)),'plot');
set(B1,'LineStyle','--'); %设置图线型
set(B2,'LineStyle',':');
set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','线速度v(t)m/s');%作标注
set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','角位移\th(t)/rad');
xlabel('时间t/s');
legend(B1,'线速度v(t)',2);
legend(B2,'角位移\th(t)',1);
在以上假设条件下得到仿真图形如下:
在其他条件不变的情况下,仅仅改变细线的长度L=3,再次进行仿真,仿真图象如下:
对比两幅图象可以看出,在理想条件下,同样摆角下,单摆的摆臂变化,影响单摆的最大线速度以及单摆的周期,当摆臂增加时,最大线速度增加,.
实际情况中,当摆幅很小(<50
),单摆的摆动可以看作是简谐运动,现在更改单摆的初始摆角为50 情况,也就是令th0=,,仿真结果如下:
2 现实情况下单摆的数学模型.
现实情况下,绳子的质量,摆球的半径,空气的阻力等等都对单摆的摆动有影响,这些影响的主要作用就是阻止单摆的摆动,为简单起见, 可设单摆在摆动中受到阻力fz,显然阻力与摆锤的运动速度有关,即阻力是单摆线速度的函数:fz = f(v),fz (t) = -kv(t)
上式中,k>0为阻力比例系数,式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。