矩阵的特征值
和特征向量
§ 矩阵的特征值和特征向量
§ 相似矩阵与矩阵可对角化的条件
§ 实对称矩阵的特征值和特征向量
1. 特征值与特征向量的定义
2. 相关概念
§ 矩阵的特征值
和特征向量
1. 特征值与特征向量的定义
若存在常数
及非零向量
例:设
即
2. 相关概念()
称
※
因为即n元齐次线性方程组有非零解,
等价于
设A为n阶矩阵,则λ0是A的特征值, α是A的属于λ0的特征向量的充要条件是
λ0为特征方程det(λE-A)=0的根,α是齐次线性方程组(λE-A)X=0的非零解。
推论1、2
若α1,α2是A属于λ0的特征向量,则c1α1+ c2α2也是A属于λ0的特征向量。( c1α1+ c2α2 ≠0)
可求得非零解
对每个
解方程
此即对应于
的特征向量.
解特征方程
,即可得特征值
例 1
求矩阵
的特征值与特征向量.
解
得特征值
当
时,
解方程
由
得基础解系
全部特征向量为
当
时,
解方程
由
得基础解系
全部特征向量为
例 2
求矩阵
的特征值与特征向量.
解
得特征值
当
时,
解方程
得基础解系
全部特征向量为
当
时,
解方程
得基础解系
全部特征向量为
注意在例1与例2中,特征方程的
重根所对应的线性无关特征向量的个数.
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