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第八章  特征值的估计和广义特征值 
  特征值的界的估计 
定理 1  (Schur 不等式)设的特征值为,则 
      (1)  
当且仅当是正规矩阵时等号成立。 
证明  注意到,取酉矩阵
使得,其中是上三角矩阵,其对角线上元素是的特征
值, 则
。由前面计算知
道(1)的等号成立的充要条件是,这等价
于是对角矩阵,而这又等价于是正规矩阵。 
推论 1 设的特征值为,则,
和的特征值分别为和
,且
推论 2  若是实矩阵,则 
证明  若是实矩阵,则得主对角线上元素为零,所以
,由实系数方程复根成对出现,
所以。 
推论 3  Hermite 矩阵的特征根都是实数,反 Hermite 矩阵的特征根都
是纯虚数。 
例 1  估计矩阵的特征值的上界。 
  圆盘定理 
定理 1  若是行对角占尤的, 即,
,则是非奇异的. 
证明  若, 则有零特征值, 设相应的特征向量为
,记,则,从而由 
可得
,所以,矛盾. 
推论若是列对角占尤的, 即,
,则是非奇异的. 
定理 2  (  Gerschgorin)  对若,令, 
,  , 则包含
了的所有特征值. 
证明  若是的特征值,则,从而不是行对角占尤
的,从而存在,使得,即.
例 1 估计矩阵的特征值的分布 
定理 3  设是的个圆盘组成的一个连通分支,则中恰有的个
特征值.(主对角线上相等的元素对应的圆盘许重复计算,相同的特征
值需按重数计算). 
注  定理说明孤立的圆盘中恰好含有一个特征值,但是, 个圆盘组成的
连通分支中不保证每一个圆盘都要含的特征值,只是说这连通分支
总体含有的个特征值. 
例 2  估计矩阵的特征值的分布范围 
推论 1  若的个圆盘互不相交,则可以对角化. 
推论 2  若的个圆盘互不相交,则的特征值都是实数. 
推论 3  若,且,则的特
征值的实部大于零. 
定理 4  设, , 记, 
, , 则的特征值含于
. 
证明  令,对用定理 2 即可