§2.4 卷积积分的性质.ppt

§ 卷积积分的性质
卷积代数运算
与冲激函数或阶跃函数的卷积
微分积分性质
卷积的时移特性
相关函数
卷积积分是一种数学运算,它有许多重要的性质(或运算规则),灵活地运用它们能简化卷积运算。
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一、卷积代数运算



系统并联运算
系统级联运算
证明
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证明交换律
卷积结果与交换两函数的次序无关。
一般选比较简单函数进行反转和平移。
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二、与冲激函数或阶跃函数的卷积
1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t)
证:
f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0)
2. f(t)*δ’(t) = f’(t)
证:
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t)
3. f(t)*ε(t)
ε(t) *ε(t) = tε(t)
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三、卷积的微积分性质
1.
证:上式= δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)]
= [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t)
2.
证:上式=ε(t) *[f1(t)* f2(t)]
= [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t)
3. 在f1(–∞) = 0或f2(–1)(∞) = 0的前提下,
f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
例1
例2
归泽出熙沤成卖矫肢且其橙泣亥撇靳污痢咽菊莱疯篆唇寒驻潭矣讼浆赦搅§ 卷积积分的性质§ 卷积积分的性质
卷积性质例1
例1:f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t),求f1(t)* f2(t)
解: f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
f1’(t) =δ(t) –δ(t –2)
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) –[1- e–(t-2)]ε(t-2)
注意:当 f1(t)=1 , f2(t) = e–tε(t),套用 f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) = 0* f2(–1)(t) = 0 显然是错误的。
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四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t),
则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t)
= f1(t)* f2(t –t1 –t2)
= f(t –t1 –t2)
例
求卷积是本章的重点与难点。
求解卷积的方法可归纳为:
(1)利用定义式,直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数,多项式函数等。
(2)图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。
(3)利用性质。比较灵活。
三者常常结合起来使用。
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卷积性质例3
例:f1(t), f2(t)如图,求f1(t)* f2(t)
解: f1(t) = 2ε(t) –2ε(t –1)
f2(t) = ε(t+1) –ε(t –1)
f1(t)* f2(t)
= 2 ε(t)* ε(t+1) –2 ε(t)* ε(t –1)
–2ε(t –1)* ε(t+1) +2ε(t –1)* ε(t –1)
由于ε(t)* ε(t) = tε(t)
据时移特性,有
f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε(t+1) - 2 (t –1) ε(t –1)
–2 tε(t) +2 (t –2) ε(t –2)
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五、相关函数
相关函数是鉴别信号的有力工具,被广泛应用于雷达回波的识别,通信同步信号的识别等领域。
相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是没有一个函数的反转。
相关函数的定义
相关与卷积的关系
相关函数的图解
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