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函数的对称性与周期性、抽象函数

知识归纳:
1. 函数图像的变换
由函数的图像变换到以下函数图像的法则
(1) 法则:关于y轴对称
(2) 法则:关于x轴对称
(3) 法则:关于原点对称
(4) 法则:右边不变,左侧去掉,左边和右边对称
(5) 法则:上面不变,下面的图像对折上去
(6) 法则:
(7) 法则:
(8) 法则:纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
(9) 法则:横坐标不变,纵坐标伸长为原来的A倍
2、函数的对称性与周期性
(1)若函数的图像关于直线对称,则对任意使函数有意义的都有,也可表示为等。
(2)若函数的图像关于点对称,则对任意使函数有意义的都有,也可表示为等。
特别地:若函数的图像关于点对称,则
若函数的图像关于点对称,则
(3)对任意的,存在非零常数T,使得恒成立,则称是周期函数,且最小的正数T叫函数的最小正周期,简称周期。
(4)满足的函数是周期函数,且周期是
(5)满足的函数是周期函数,且周期是
(6)满足的函数是周期函数,且周期是
(7) 的周期为
(8) 的周期为
(9)若函数有两条对称轴分别为和,则该函数是周期函数且周期为
(10)若函数的对称轴为,对称中心为,则该函数是周期函数且周期为
(11)若函数有两个对称中心分别为和,则该函数是周期函数且周期为
例题分析:
例1(1)已知是定义在实数集R上奇函数,时,,求的解析式。
(2)已知满足,时,,求的解析式。
(3)已知奇函数满足,时,,求
(4)已知满足,时,,求的解析式。
例2(1)已知, 求
(2)已知偶函数定义域为R,且恒满足,若方程在上只有三个实根,且一个根是4,求方程在区间中的根.
例3(1)设函数的定义域为R,若的图象关于对称,则函数满足( )
A、 B、
C、 D、
(2)函数与函数的图象关于关于__________对称
(3)函数和函数的图象关于关于__________对称
(4)设函数的定义域为R,且满足,则的图象关于__________对称。的图象关于__________对称。
(5)设函数的定义域为R,则下列命题中,①若是偶函数,则图象关于y轴对称;②若是偶函数,则图象关于直线对称;③若,则函数图象关于直线对称;④与图象关于直线对称,其中正确命题序号为____ ___。
(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,对任意x1,x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0。
(1)求 f() 及f() (2)证明f(x)是周期函数
巩固练习:
1、如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( )
(2)<f(1)<f(4) (1)<f(2)<f(4)
(2)<f(4)<f(1) (4)<f(2)<f(1)
,当时,,若,且,则的值( )
(B)恒负(C)可正可负(D)可能等于0
(x)=[1+]f(x),(x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于0,则f(x) ( )

(x)是(-∞