公开课数学归纳法.ppt

解:
猜想数列的通项公式为
验证:同理得
正整数无数个!
对于数列{ },已知,
(1)求出数列前4项,你能得到什么猜想?
(2)你的猜想一定是正确的吗?
问题情境一
问题情境二
多
米
诺
骨
牌
课
件
演
示
1、第一块骨牌倒下
2、任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下
条件(2)事实上给出了一个递推关系,换言之就是假设第K块倒下,则相邻的第K+1块也倒下
请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件
这与我们要解决的问题有相似性吗?
多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题有相似性吗?
多米诺骨牌游戏原理
(1)第一块骨牌倒下。
(2)若第k块倒下时,则相邻的第k+1块也倒下。
根据(1)和(2),可知不论有多少块骨牌,都能全部倒下。
(1)当n=1时,猜想成立
根据(1)和(2),可知对任意的正整数n,猜想都成立。
通项公式为的证明方法
(2)若当n=k时猜想成立,即,则当
n=k+1时猜想也成立,即。
上述事例启发我们:在证明一个与正整数有关的数学命题时,我们常采用下面两个步骤来证明它们的正确性:
(1)证明:当n=1时命题成立;
数学归纳法
(2)假设当n=k时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
这种证明方法叫做数学归纳法
由(1),(2)可得命题对所有正整数n都成立。
对于数列{ },已知,
猜想其通项公式;同学们,请验证你的猜想是不是正确的呢?
证明:
(1)当
猜想成立。
(2)
那么,当
根据(1)和(2),猜想对于任何都成立。
例1、用数学归纳法证明:
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。
(2)假设当n=k时等式成立,就是


那么,当n=k +1时,


这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何正整数n都成立。
例题讲解
证明: (1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.
(2)假设当时,等式成立,就是
那么当n=k+1时
这就是说,当n=k+1时,等式也成立.
由(1)和(2),可知的等式对任何都成立.
练习用数学归纳法证明:
那么,当n=k+1时
-
证明:(1)当n=1时,左边=20=1, 右边=21 - 1=1
等式成立
(2)假设n=k时,等式成立,即
-
即当n=k+1时等式也成立
根据(1)和(2),可知等式对任何都成立.
错误原因:由证明n=k+1等式成立时没有用到n=k命题成立的归纳假设
例:欲用数学归纳法证明,试问n的第一个取值应是多少?
解:当n=1时,2n=2,n2=1, 2n>n2
当n=2时,2n=4,n2=4, 2n=n2
当n=3时,2n=8,n2=9, 2n<n2
当n=4时,2n=16,n2=16, 2n=n2
当n=5时,2n=32,n2=25, 2n>n2
当n=6时,2n=64,n2=36, 2n>n2
对n=1、2、3…,逐一尝试,可知初始值为n=5.
当n≥5时,2n>n2(证明略)