南航矩阵论课程课件 1-3相似矩阵.ppt

§ 相似矩阵
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定义:设 A, B 都是 n 阶矩阵,若有可逆矩阵 P 满足
P −1AP = B ,
则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵,或称矩阵A 和 B 相似.
对 A 进行运算 P −1AP 称为对 A 进行相似变换.
称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
定理:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 和 B 有相同的秩、行列式、特征值和特征多项式
定义:设 A 是 n 阶矩阵,如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足
Ax = l x,
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值,非零向量 x 称为 A
对应于特征值 l 的特征向量.
矩阵的谱半径:特征值的模的最大值
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例:求矩阵的特征值和特征向量.
解:A 的特征多项式为
所以 A 的特征值为 l1 = 2,l2 = 4 .
当 l1 = 2 时, 对应的特征向量应满足
,即
解得基础解系.
k p1(k ≠ 0)就是对应的特征向量.
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例:求矩阵的特征值和特征向量.
解:A 的特征多项式为
所以 A 的特征值为 l1 = 2,l2 = 4 .
当 l2 = 4 时, 对应的特征向量应满足
,即
解得基础解系.
k p2(k ≠ 0)就是对应的特征向量.
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例:求矩阵的特征值和特征向量.
解:
所以 A 的特征值为 l1 = −1,l2 = l3 = 2 .
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