二次函数知识点总结及相关典型题目(学生用).doc

二次函数
一、定义:一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.
例:已知关于x的函数)当a,b,c满足什么条件时
(1)是一次函数(2)是正比例函数(3)是二次函数
y
x
O
二、二次函数是常数,的性质
(1)①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
③||越大,开口越小。
(2)顶点是,对称轴是直线
(3)①当时,在对称轴左边,y随x的增大而减小;在在对称轴右边,y随x的增大而增大;
②当时,在对称轴左边,y随x的增大而增大;在在对称轴右边,y随x的增大而减小。
(4) 轴与抛物线得交点为(0,)
例:1、(2011四川重庆,7,4分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是( )
山东威海题图
A. a>0 B. b<0 C. c<0 D. a+b+c>0
练习:1、(2011山东威海,7,3分)<0时,自变量x的取值范围是( ).
A.-1<x<3 <-1 C. x>3 <-1或x>3
2、(2010湖北孝感,12,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为,下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:,顶点是,对称轴是直线.
(2)配方法:的顶点为(,),对称轴是直线.
(3)利用交点式求对称轴及顶点:,对称轴为
例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴:
(1) (2) (3)
例2、2011江苏淮安,14,3分)抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是.(1,-4)
四、抛物线的平移
方法1:计算机两条抛物线的顶点,由顶点判定平移情况
方法2:将函数换成顶点式,用口决“(x)左加右减,上加下减”
抛物线经过怎样平移得到
例2、(2011四川乐山5,3分)将抛物线向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是( )
A. B. C. D.
例3、( 2011重庆江津, 18,4分)将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.
练移得到
2、抛物线向左平移2个单位,再向上移3个单位得到,求b和c。
3、(2011山东滨州,7,3分)抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )
,再向上平移3个单位
,再向下平移3个单位
,再向下平移3个单位
,再向上平移3个单位
五、用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:.
(4)一般式与顶点式的变换
例:1、根据已知条件确定下列函数的解析式:
(1)已知抛物线过
(2)已知抛物线的顶点在x轴上,且过点(1,0)、(-2,4);
(3)已知抛物线的顶点坐标为(-2,