最大公因式的初等变换求法.doc

【摘要】给出了求最大公因式的初等变换法,这比辗转相除法要来的简便,并在两个多项式的基础上做了推广,给出了求多个多项式的最大公因式的方法.
【关键词】最大公因式;初等变换
引言
学习了高等代数,我们知道可以运用辗转相除求两个多项式的最大公因式,《最大公因式的初等变换》一文后,发现其求最大公因式的方法比较简洁,我们在其求两个多项式的最大公因式的基础上,推广并证明了此法对求K个多项式也适用.
一:对方法的重述并且补充分析了一般的求法过程.
设和不全为零,不妨设,应用带余除法,可以得到一串等式:
这里就是和的最大公因式,此为辗转相除法。用表示首项系数为1的最大公因式。
在这里我们看到,对于一般的两个多项式来说,这种求法步骤较多,篇幅较大,计算较繁,而下面的初等变换克服了这些缺点。
引理
引理1 数域P上所有次数不大于n的多项式连同零多项式构成的多项式空间P[x]与所有的n+1元有序数组构成的向量空间同构。
事实上,在P[x]与之间存在同构映射:
,可见,可用
表示
引理2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)设,
证明:(1)、(2),显然
(3)设,则,,又令是与的任一公因式,则,,于是,进而有,命题得证。
(4)证明同(3)
(5)设且是与的任一公因式,注意到,,于是,故。
推广此式可得
定理
用表示多项式与的待求最大公因式,则对A施行初等行变换。两个多项式的最大公因式不变;当时
证明:由引理2中(1)、(2)、(3),即得定理的第一部分,由引理2中的(4)、(5),即得定理的第二部分(注:由引理知A与B是相等关系)
对于一般的,若,
当时,
当时,通过初等变换,保持第一行不变,将第一行乘上加到第二行,得
,
即通过初等变换,都可得A化为的形式。
若,则保持第二行不变,将第二行乘上加到第一行,得
,
因此,通过初等变换,使得两个多项式都降了一个阶,而他们的最大公因式却不变。按照此法类推下去,将阶数到一定低阶时,便可以得到最大公因式。
若,则
同样可按照以上方法将多项式降阶,最终可得最大公因式。
例1:
设,,求
解:对矩阵,
进行初等变换
故.
二:推广到K个多项式
引理3
(1)
(其中,,是1,2,…k的任意排列)
(2)
(,,是任意常数)
(3)
(4)
(5)设
证明: (1), (2)显然.
(3)设,
则,
设是,,,,故.
从而
命题得证.
(4)证明同(3)
(5)设,是的任一公因式.
由于,故
于是,,
故.
而,,.
故.
推广此式可得, ,
(是正整数)
例2:
设,,,求
解:对
故
参考文献:
[1] 文章编号1671-5330(2005)05-0028-02
[2] 张禾瑞,郝炳新. 高等代数(第四版)