2005年考研数学一真题及答案.docx

2005年考研数学一真题
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分。答案写在题中横线上)
曲线y=x22x+1的斜渐近线方程为。
【答案】y=12x-14
【解析】
a=limx→∞yx=limx→∞x22x+1x=12
b=limx→∞y-ax=limx→∞x22x+1-12x=limx→∞-x2(2x+1)=-14
所以斜渐近线方程为y=12x-14。
综上所述,本题正确答案是y=12x-14。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
微分方程xy'+2y=xlnx满足y1=-19的解为。
【答案】y=13xlnx-19x
【解析】
原方程等价于y'+2yx=lnx
所以通解为
y=e-2xdxlnx∙e2xdxdx+C=1x2∙x2lnx+C
=13xlnx-19x+C1x2
将y1=-19代入可得C=0
综上所述,本题正确答案是y=13xlnx-19x。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程
设函数ux,y,z=1+x26+y212+z218,单位向量n=13{1,1,1},则∂u∂n(1,2,3)= 。
【答案】33。
【解析】
因为∂u∂x=x3,∂u∂y=y6,∂u∂z=z9
所以∂u∂n(1,2,3)=13∙13+13∙13+13∙13=33
综上所述,本题正确答案是33。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度
设Ω是由锥面z=x2+y2与半球面z=R2-x2-y2围成的空间区域,Σ是Ω的整个边界的外侧,则Σ xdydz+ydzdx+zdxdy= 。
【答案】2π(1-22)R3。
【解析】
Σ xdydz+ydzdx+zdxdy=Ω 3dxdydz
=30Rρ2dρ0π4sinφdφ02πdθ=2π(1-22)R3
综上所述,本题正确答案是2π(1-22)R3。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算
设α1,α2,α3均为三维列向量,记矩阵A=α1,α2,α3,
B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3)
如果A=1,那么B= 。
【答案】2。
【解析】
【方法一】
B=|α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3|
=|α1+α2+α3,α2+3α3,α2+5α3|
=α1+α2+α3,α2+3α3,2α3
=2α1+α2+α3,α2+3α3,α3
=2α1+α2+α3,α2,α3=2α1,α2,α3=2A=2
【方法二】
由于B=α1,α2,α3111123149= A111123149
两列取行列式,并用行列式乘法公式,所以
B=A111123149=2A=2
综上所述,本题正确答案是2。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质,行列式按行(列)展开定理
从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,2,⋯,X中任一个数,记为Y,则PY=2= 。
【答案】1348。
【解析】
【方法一】
先求出(X,Y)的概率分布,因为X是等可能的取1,2,3,4,故(X,Y)关于X的边缘分布必有PX=i=14,i=1,2,3,4,而Y只从1,2,⋯,X中抽取,又是等可能抽取1,2,⋯,X的概率为14X
所以PX=i,Y=j=0,j>i14i,j≤i 即:
X Y
1
2
3
4
1
14
0
0
0
14
2
18
18
0
0
14
3
112
112
112
0
14
4
116
116
116
116
14
所以PY=2=18+112+116=1348
【方法二】
PY=2=i=14PX=iPY=2|X=i
=i=1414PY=2|X=i
=14×0+12+13+14=1348
综上所述,本题正确答案是1348。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。)
设函数fx=limn→∞n1+|x|3n,则f(x)
(A)处处可导(B)恰有一个不可导点
(C)恰有两个不可导点(D)恰有三个不可导点
【答案】C。
【解析】
由limn→∞na1n+a2n+⋯+amn=1≤i≤mmaxai(ai>0)知
fx=limn→∞n1+|x|3n
=max1,x3=1,|x|≤1x3,x>1
由y=f(x)的表达式和其图像可知f(x)在x=±1处不可导,在其余点均可导。
x
y=-x3