“至多”或“至少”型计数题解答策略.doc

“至多”或“至少”型计数题解答策略
提问: 在计数问题中,经常有“至多”“至少”“不都”,我就头脑混乱,弄不清它们到底是什么意思……
回答: 排列组合问题中,“至多”“至少”,首先要理解这些词语的含义.
至少: 表示最小限度、不少于,即“大于或等于”.
例如,从5名女生和5名男生中选4人参赛,至少有2名女生被选中,表示被选中的女生人数大于或等于2名,即女生人数可能为2名、3名或4名.
至多: 表示最大限度、不超过,即“小于或等于”.
例如,从5名女生和5名男生中选4人参赛,至多有2名女生被选中,表示被选中的女生人数小于或等于2名,即女生可能为2名、1名或没有.
在准确理解这些词的含义后,“分类讨论直接计算”和“考虑反面情形间接计算”两种方法处理这类问题.
例1 [2013年湖州市高三教学质量检测数学(理科)第14题]将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中,每个笔筒中至少放2支笔,有种不同的放法(用数字作答).
解析: 例1含有的不确定因素是“每个笔筒中至少放2支笔”,:两个笔筒中分别放2支笔和5支笔、3支笔和4支笔、4支笔和3支笔、+++=2(+)=2
×(21+35)=112种.
点评: 在例1中,我们采用分类讨论直接计算的方法,将不确定因素转化为几类确定的、可计数的情形,这样的处理使得题意更为清晰,便于逐类解答问题.
例2 [2013年高考数学重庆卷(理科)第13题] 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1个人的选派方法有种(用数字作答).
解析: ,只从3名骨科和4名脑外科医生中选派5名医生的方法有种;1名脑外科医生都不选,只从3名骨科和5名内科医生中选派5名医生的方法有种;1名骨科医生都不选,只从4名脑外科和5名内科医生