四点共圆基本判断方法.ppt

四点共圆的证明
五个基本判断方法集结
1. 若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆。
2. 若一个四边形的一组对角互补(和为180°),则这个四边形的四个点共圆。
3. 若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个点共圆。
4. 若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5同斜边的直角三角形的顶点共圆。
,则这四个点共圆
如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:E,F,G,H四个点在以O为圆心的同一个圆上
分析指导:利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半,再利用菱形的四边相等即可证出。
(和为180°),则这个四边形的四个点共圆
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°,则点A、B、C、D四点共圆
已知:四边形ABCD中,∠A+∠C=180°求证:四边形ABCD内接于一个圆(A,B,C,D四点共圆
证明:用反证法 过A,B,D作圆O,假设C不在圆O上,则C在圆外或圆内,若C在圆外,设BC交圆O于C’,连结DC’,根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°,∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。 ∴C在圆O上,也即A,B,C,D四点共圆。
,则这个四边形的四个点共圆
若∠B=∠CDE,则A、B、C、D四点共圆证法同上
例如图所示,已知四边形 ABCD 是平行四边形,过点 A 和点 B 的圆与 AD、BC 分别交于 E、F 点。求证: C、D、E、 F 四点共圆。
分析: 欲证 C、D、E、F 四点共圆,可证以该四点构成的四边形中,一组对角互补或外角等于内对角即可。由此,连接 EF 构成四边形 EFCD 后,证明∠BFE = ∠D 即可。证明: 连接 EF, ∵四边形 ABFE 是圆内接四边形, ∴∠A + ∠BFE = 180°。又∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠A + ∠D = 180°。∴∠BFE = ∠D。∴ C、D