不等式的证明方法.doc

1 常用方法
(作差法)[1]
在比较两个实数和的大小时,:作差——变形——判断(正号、负号、零).变形时常用的方法有:配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.
例1 已知:,,求证:.
证明,
故得.

在证题时,一般在,均为正数时,借助或来判断其大小,步骤一般为:作商——变形——判断(大于1或小于1).
例2 设,求证:.
证明因为,
所以,.
而,
故.
(逆推法)
从要证明的结论出发,一步一步地推导,最后达到命题的已知条件(可明显成立的不等式、已知不等式等),其每一步的推导过程都必须可逆.
例3 求证:.
证明要证,即证,即,,,,.
由此逆推即得.
[2]
证题时,从已知条件入手,经过逐步的逻辑推导,运用已知的定义、定理、公式等,最终达到要证结论,这是一种常用的方法.
例4 已知:,同号,求证:.
证明因为,同号,
所以,,
则
即.
[3]
先假设要证明的结论不对,由此经过合理的逻辑推导得出矛盾,从而否定假设,导出结论的正确性,达到证题的目的.
例5 已知,是大于1的整数,求证:.
证明假设,
则,
即,
故,
这与已知矛盾,所以.
[4]
把所要证明的结论先分解为几个较简单部分,分别证明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性质,使原不等式获证.
例6 已知:,,求证: .
证明因为,,
所以,.
由柯西不等式
所以原不等式获证.
[5]
在证题过程中,根据不等式的传递性,常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大),或把和(或积)里的各项换以较大(或较小)的数,或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母),“放”、“缩”得当,:改变分子(分母)放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法.
例7 求证: .
证明令则
所以.
[6]
对于含有的不等式,当取第一个值时不等式成立,如果使不等式在时成立的假设下,还能证明不等式在时也成立,那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立.
例8 已知:,,,求证:.
证明(1)当时,,不等式成立;
(2)若时,成立,则
=,
即成立.
根据(1)、(2),对于大于1的自然数都成立.

在证题过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明达到简化.
例9 已知:,求证:.
证明设,,则,

所以.

借助三角变换,在证题中可使某些问题变易.
例10 已知:,,求证:.
证明设,则;设,则
所以.
[7]
通过构造一元二次方程,利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围,来证明所要证明的不等式.
例11 设,且,求证:.
证明设,则
代入中得,
即
因为,,所以,
即,
解得,故.
[8]
形如的函数,其中,且
为常数,则当的值之间越接近时,的值越大(或不变);当时,取最大值,即
.
标准化定理:当为常数时,有.
证明:记,则
,
求导得,
由得,即.
又由,
知的极大值点必在时取得.
由于当时,,故得不等式.
同理,可推广到关于个变元的情形.
例12 设为三角形的三内角,求证:.
证明由标准化定理得,
当时, , 取最大值,
故.

应用一些等式的结论,可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明.
例13(1956年波兰数学竞赛题)、为的三边长,求证:
.
证明由海伦公式,其中.
两边平方,移项整理得
而,
所以.

按照一定的法则,把一个数或式分解为几个数或式,使复杂问题转化为简单易解的基本问题,以便分而治之,各个击破,从而达到证明不等式的目的.
例14 ,且,求证:.
证明因为
.
所以.
[9-10]
在证明不等式时,有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等,可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的.
例15 已知:,,求证:.
证明依题设,构造复数,,则,
所以

故.
[11]
利用排序不等式来证明某些不等式.
排序不等式:设,,则有
.
简记作:反序和乱序和同序和.
例16 求证:.
证明因为有序,所以根据排序不等式同序和最大,
即.
[12]
借助几何图形,运用几何或三角知识可使某些证明变易.