第二节
偏导数与高阶偏导数
一、偏导数定义及其计算法
引例:
研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,
就是
中的 x 固定于 x0 处,
求
一阶导数与二阶导数.
关于 t 的
将振幅
定义1.
在点
存在,
的偏导数,记为
的某邻域内
则称此极限为函数
极限
设函数
注意:
同样可定义对 y 的偏导数
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点( x , y ) 处对 x
则该偏导数称为偏导函数,
也简称为
偏导数,
记为
或 y 偏导数存在,
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点(x , y , z) 处对 x 的
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.
偏导数定义为
二元函数偏导数的几何意义:
是曲线
在点 M0 处的切线
对 x 轴的斜率.
在点M0 处的切线
斜率.
是曲线
对 y 轴的
例1 . 求
解法1
解法2
在点(1 , 2) 处的偏导数.
例2. 设
证:
例3. 求
的偏导数.
解:
求证
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
若这两个偏导数仍存在偏导数,
则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数.
按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如,z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数, 再关于 y 的一阶
偏导数为
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