李贤平《概率论与数理统计》标准标准答案.doc

第5章极限定理1、为非负随机变量,若,则对任意,。2、若,为随机变量,且,则关于任何,。4、各以概率取值和,当为何值时,大数定律可用于随机变量序列的算术平均值?6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件:(1);(2);(3)。7、若具有有限方差,服从同一分布,但各间,和有相关,而是独立的,证明这时对大数定律成立。8、已知随机变量序列的方差有界,,并且当时,相关系数,证明对成立大数定律。9、对随机变量序列,若记,,则服从大数定律的充要条件是。10、用斯特灵公式证明:当,而时,。12、某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试求有10个或更多终端在使用的概率。b5E2RGbCAP13、求证,在时有不等式。14、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明:在贝努里试验中,,则不管是如何大的常数,总有。15之间的概率不小于90%。并用正态逼近计算同一问题。16、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛——拉普拉斯定理估计下面概率:并进行比较。这里是次贝努里试验中成功总次数,为每次成功的概率。p1EanqFDPw17、现有一大批种子,其中良种占,今在其中任选6000粒,试问在这些种子中,良种所占的比例与之差小于1%的概率是多少?DXDiTa9E3d18、种子中良种占,我们有99%的把握断定,在6000粒种子中良种所占的比例与之差是多少?这时相应的良种数落在哪个范围内?RTCrpUDGiT19、蒲丰试验中掷铜币4040次,出正面2048次,试计算当重复蒲丰试验时,正面出现的频率与概率之差的偏离程度,不大于蒲丰试验中所发生的偏差的概率。5PCzVD7HxA20、设分布函数列弱收敛于连续的分布函数,试证这收敛对是一致的。22、试证若正态随机变量序列依概率收敛,则其数学期望及方差出收敛。24、若的概率分布为,试证相应的分布函数收敛,但矩不收敛。25、随机变量序列具有分布函数,且,又依概率收敛于常数。试证:(I)的分布函数收敛于;(II)的分布函数收敛于。jLBHrnAILg26、试证:(1);(2);(3);(4);(5)是常数;(6);(7)常数;(8);(9)常数;(10)是随机变量;(11)。27、设。而是上的连续函数,试证。28、若是单调下降的正随机变量序列,且,证明。29、若是独立随机变量序列,是整值随机变量,,且与独立,求的特征函数。30、若是非负定函数,试证(1)是实的,且;(2);(3)。31、用特征函数法直接证明德莫佛——拉普拉斯积分极限定理。33、若母体的数学期望,抽容量为的子样求其平均值,为使,问应取多大值?34、若为相互独立随机变量序列,具有相同分布,而,试证的分布收敛于上的均匀分布。35、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。36、用特征函数法证明,普阿松分布当时,渐近正态分布。计算的特征函数,并求时的极限。38、设独立同分布,,则大数定律成立。39、若是相互独立的随机变量序列,均服从,试证及渐近正态分布。40、设是独立随机变量序列,均服从均匀分布,令,试证,这里是常数,并求。41、若是独立同分布随机变量序列,,若是一个有界的连续函数,试证。42、若是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列,试证。44、设是上连续函数,利用概率论方法证明:必存在多项式序列,在上一致收敛于。45、设是独立随机变量序列,试证的充要条件为,对任意有。46、试证独立同分布随机变量序列,若存在有限的四阶中心矩,则强大数定律成立。48、举例说明波雷尔——康特拉引理(i)之逆不成立。49、设是相互独立且具有方差的随机变量序列,若,则必有。53、若是独立随机变量序列,方差有限,记。(1)利用柯尔莫哥洛夫不等式证明(2)对上述,证明若,则收敛;(3)利用上题结果证明对成立柯尔莫哥洛夫强大数定律。54、(1)设为常数列,令,试证收敛的充要条件是;(2)(Kronecker引理)对实数列,若收敛,则。56、设是独立随机变量序列,对它成立中心极限定理,则对成立大数定律的充要条件为。57、设是独立同分布随机变量序列,且对每一个有相同分布,那么,若,则必须是变量。58、设是独立随机变量序列,且服从,试证序列:(1)成立中心极限定理;(2)不满足费勒条件;(3)不满足林德贝格条件,从而说明林德贝格条件并不是中心极限定理成立的必要条件。xHAQX74J0X59、若是独立随机变量序列,服从均匀分布,对服从,证明对成立中心极限定理,但不满足费勒条件。60、在普阿松试验中,第次试验时事件A出现的概率为,不出现的概率为,各次试验是独立的,以记前次试验中事件A出现的次数,试证:(1);(2)对成立中心极限定理的充要条件是。LDAYtRyKfE61、设独立,服从均匀分布,问对能否用中心极限定理?62、试问对下列独立随机变量序列,李雅普诺