全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导：六讲不等式应用、参数取值范围问题.doc

荿全国高中数学联赛金牌教练员讲座衿兰州一中数学组羅蒃第六讲不等式的应用、参数取值范围问题螂芈知识、方法、(又称排序原理)蒅 设有两个有序数组及袀 则(同序和)螈 (乱序和)蒆 (逆序和)节 其中是1,2,…,(对任一排列) 证明:不妨设在乱序和S中时(若,则考虑),且在和S中含有项膇则①膆事实上,左-右=莃 由此可知,当时,调换()中与位置(其余不动),所得新和调整好及后,接着再仿上调整与,又得如此至多经次调整得顺序和莁 ②袀 这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然,当或时②,若它们不全相等,则必存在及k,使这时①② 类似地可证“乱序和不小于逆序和”.“平均不等式”:葿 设有n个正数的算术平均数和几何平均数分别是芀蚇 此外,还有调和平均数(在光学及电路分析中要用到膂 ,袁 和平方平均(在统计学及误差分析中用到)虿 下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式:羀 记;腿 膈 由于数组和数组中对应的数互为倒数,由排序不等式得莅(逆序和)莂,薈 即袈 从而等号当且仅当或时成立, 下面证明对个正数应用得蒁 羇 即(符号成立的条件是显然的).最后证明它等价于莄 膃 而上式左边=蕿,,——几何平均数不等式, 柯西(Cavchy)不等式:设、、,…,是任意实数,则芅 羁等号当且仅当为常数, 证明:不妨设不全为0,也不全为0(因为或全为0时,不等式显然成立).记A=,B=.袅 且令肂 则于是原不等式成为肀蕿 其中等号成立的充要条件是从而原不等式成立, 切比雪夫不等式:若,,莆 则膅 证明:由题设和排序不等式,有=,薀 ,莈 ……肆 羂 将上述n个不等式叠加后,两边同除以n2, 应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式, 例1:对, 【思路分析】要应用“排序不等式”,必须取两组便于排序的数, 【略解】取两组数肅 膀 不管的大小顺序如何,,故羀 .芇 【评述】 例2:,求证薂 【思路分析】应先将、、三个不失一般性地规定为莀 【略解】由于不等式关于、、对称,可设薆 由排序不等式,得(乱序和).膈及莇 以上两个同向不等式相加再除以2, ,仿上可证第二个不等式, 【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组,, 例3:在△ABC中,试证:螇 【思路分析】可构造△ABC的边和角的序列, 【详解】不妨设,于是由排序不等式,得芁 虿 相加,得,膆 得①薃 又由有莂 螈 得②薅 由①、② 【评述】 例4:设是互不相同的自然数,试证膀 【思路分析】 【略解】将按由小到大的顺序排成其中是1,2,…,n的一个排列,则于是由排序不等式,得肄 芁 例5:设是正数的一个排列,求证芈 【思路分析】应注意到螈 【略证】不妨设,,螄 又的任意一个排列,于是得到节 蚁 【评述】此题比较简单,但颇具启发意义, 例6:设正数的乘积,试证:薄 【略解】设,这里都是正数,,, 薇 故得芅 【评述】:设正数、、的乘积膁证明袇 证明:设,且所需证明的不等式可化为羆,现不妨设,则羅 ,据排序不等式膂 得芀 及蒆 两式相加并化简可得螆 羀 例7:设实数是的一个置换,证明:莈 袅 【略解】 【评述】应用此例的证法可立证下题:肁 设是两两互异的正整数(,证明对任意正整数,均有蚁 证明:设是的一个排列,使,则从条件知对每个,于是由排序不等式可知