矩阵初等变换及其应用.doc

,线性方程组是许多问题地数学模型,因此,线性方程组地求解问题十分重要,、矩阵地初等变换螀用消元法求解简单线性方程组时,其消元步骤是对方程组施以下列变换:膅(i)对调某两个方程在方程组中地位置;羃(ii)以数乘某一方程地两端;蚁(iii),:莃(i) 对调两行(对调两行,记作);莂(ii) 以数乘某一行中地所有元素(第行乘,记作);蕿(iii) 把某一行所有元素地倍加到另一行对应地元素上去(第行地倍加到第行上,记作).薆把定义中地行换成列,,,就称矩阵A与B等价,记作A~,三种初等变换都是可逆地,且其逆变换是同一类型地初等变换:变换地逆变换就是其本身;变换地逆变换为(或记作);变换地逆变换为(或记作).罿矩阵地等价关系满足以下三个性质:薅(i) 自反性:A~A;袂(ii) 对称性:若A~B,则B~A;蒇(iii) 传递性:若,,,,,可以将矩阵化简,例如羅蚃葿上式中最后一个矩阵称为行阶梯形矩阵,它地特点是:可以画出一条阶梯线,每个阶梯只有一行,阶梯线下方地元素全是零,阶梯线地竖线后面地第一个元素非零,,还可以化为更简单地形式:膅莄莃上式中最后一个行阶梯矩阵具有下述特点:非零行向量地第一个元素为1,,它有着广泛地应用,任意一个矩阵A经过初等行变换都可化为行阶梯形矩阵及行最简形矩阵薈二、:莈(i)对调两行(或对调两列)蚆把单位阵中第两行对调(),得初等方阵芃袄(ii)以数乘某行(或某列)葿以数乘单位阵地第行(),得初等方阵肈羆(iii)以数乘某行(列)加到另一行(列)上去莀以乘地第行加到第行上(),得初等方阵蒀膇用阶初等方阵左乘矩阵得莆肁其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换:把A地第行与第行对调();类似地可以验证:以左乘矩阵A,其结果相当于以数乘A得第行();以左乘矩阵A,其结果相当于把A地第行乘加到第行上().芈综上所述,,对A施行一次初等行变换,相当于在A地左边乘以相应地阶初等方阵;对A施行一次初等列变换,,对矩阵A进行一系列地初等行变换,、利用初等行变换求逆矩阵荿定理2设A为可逆方阵,,由定理1知,存在初等方阵,使得膄,,注意到初等方阵地可逆性,得,即U是可逆地,所以U是单位矩阵E,,蚄和表明:当一系列初等行变换将矩阵A化为单位阵E时,那么经过这同一系列地初等行变换就将单位阵E化为了,,