定积分应用习题课.ppt

定积分应用习题课一、、“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法,其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部上所对应的这些微元无限积累,通过取极限,。,主要有四个步骤:①选取适当的坐标系;②确定积分变量和变化范围;③在上求出微元解析式(积分式)。④把所求的量表示成定积分三、、特殊立体的体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元素、体积元素和弧长元素。【例1】求由所围成图形的面积。分析:在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形如图所示。如果取为积分变量,则设区间所对应的曲边梯形面积为则面积元素就是在上以“以直代曲”所形成的矩形面积。解:(1)确定积分变量和积分区间:的交点为和,取为积分变量,则由于曲线和(2)求微元:任取如果将图形上方直线的纵坐标记为,将图形下方抛物线的纵坐标记为,那么,就是区间所对应的矩形的面积。因此(3)求定积分:所求的几何图形的面积表示为计算上面的积分得:分析:在直角坐标系下,由给定曲线所围成的面积如图【例2】*求位于曲线下方,该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形的面积。所示。如果取为积分变量,则设区间所对应的曲边梯形就是在上“以直代曲”所形成的矩形面积。面积为则面积元素考虑到当和时上所对应曲边梯形不同,所以,相对应矩形面积的表达式也不同,:(1)确定积分变量和积分区间:设切点的坐标为则过原点且与相切的切线方程为:,.(2)求微元:任取,则当时,那么面积元素就是区间所对应的矩形的面积,(3)求定积分:所求的几何图形的面积可表示为:解上面的积分得:即当时,那么面积元素就是区间所当对应的矩形的面积,即【例3】求由摆线,:曲线的方程为参数方程,围成图形如图所示,设区间所对应的曲边梯形面积为则面积元素就是在上“以直代曲”所形成的矩形面积。如果取为积分变量,则.